ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА

Классификация ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА МНОГОГРАННИКИ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ ПРИЗМА ПИРАМИДА ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ ЦИЛИНДР КОНУС ШАР

Понятие многогранника Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют многогранником. Примеры многогранников

Виды многогранников Выпуклые Невыпуклые

Примеры многогранников Большой курносый икосододекаэдр

Примеры многогранников Большой ромбогексаэдр

Примеры многогранников Квазиромбокубоктаэдр

Выпуклый многогранник Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360 градусов.

Элементы многогранника Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней называются рёбрами, а концы рёбер – вершинами Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю.

Призма Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.

Виды призм Прямая призмаНаклонная призма

Определения Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна её боковому ребру.

Формула нахождения площади поверхности призмы Площадью полной поверхности призмы (S пол ) называется сумма площадей всех её граней, а площадью боковой поверхности призмы (S бок )-сумма площадей боковых её граней. S пол = S бок + 2 S осн

Элементы призмы – Основание призмы 2 – Высота 3 – Боковая грань

Определение элементов призмы А1 А2 А3 В1 В2 В3 Многоугогльники А 1 А 2 А 3 и В 1 В 2 В 3 называются основаниями Параллелограммы А 1 В 1 В 2 А 2; …А 1 В 1 В 3 А 3 БОКОВЫЕ ГРАНИ --

Пирамида Многогранник, составленный из n-угольника и n- треугольников называется пирамидой

Элементы пирамиды высота пирамиды 2-боковая грань пирамиды 3-основание пирамиды

Правильные многогранники Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.

Гексаэдр Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер

Основные формулы для гексаэдра Обозначения: а – ребро, V-объём, S-площадь боковой поверхности, R-радиус описанной сферы, r- радиус вписанной сферы, H- высота.

Тетраэдр Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Основные формулы для тетраэдра Обозначения: а – ребро, V-объём, S-площадь боковой поверхности, R-радиус описанной сферы, r- радиус вписанной сферы, H- высота.

Октаэдр Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма углов при плоских каждой вершине равна 240 градусов. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Основные формулы для октаэдра Обозначения: а – ребро, V-объём, S-площадь боковой поверхности, R-радиус описанной сферы, r- радиус вписанной сферы, H- высота.

Додекаэдр Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Основные формулы для додекаэдра Обозначения: а – ребро, V-объём, S-площадь боковой поверхности, R-радиус описанной сферы, r- радиус вписанной сферы, H- высота.

Икосаэдр Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. Таким образом икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Основные формулы для икосаэдра Обозначения: а – ребро, V-объём, S-площадь боковой поверхности, R-радиус описанной сферы, r- радиус вписанной сферы, H- высота.

Правильные многогранники

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ ШАР Цилиндр Конус

ВИДЫ ЦИЛИНДРОВ Прямой Наклонный

ЦИЛИНДР Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра (3), а отрезки – его образующими (4). Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. Радиусом цилиндра называется радиус его основания(1). Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (2). Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. 4 5

КОНУС Конусом называется тело, которое состоит из круга – основания конуса(5), точки, не лежащей в плоскости этого круга – вершины конуса(2), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания – образующих конуса. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания(1). Осью конуса называется прямая, содержащая его высоту. Полная поверхность конуса состоит из его основания(5) и боковой поверхности (3). Радиусом конуса – радиус его основания.

ВИДЫ КОНУСОВ Не усечённый Усечённый

СФЕРА И ШАР Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (3). Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние- радиусом сферы (1). Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью (2). Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью. 3

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ОБЪЁМ ЦИЛИНДР КОНУС ШАР