ЕГЭ – 2012 Найти меньший острый угол прямоугольного треугольника, если известен угол между высотой биссектрисой прямого угла Математика Зенина Алевтина Дмитриевна, учитель математики г.Тюмень, 2011 г. Задача B 6

Теоретические сведения 1 Биссектриса внутреннего угла треугольника - отрезок прямой, делящей данный угол на две равные части, соединяющий вершину угла с точкой на противоположной стороне А В С М ββ ВМ - биссектриса

Теоретические сведения 2 В прямоугольном треугольнике сумма острых углов рана 90 о ɑ β Сумма всех углов в треугольнике равна: 90 о + ɑ + β = 180 о ɑ + β = 180 о – 90 о ɑ + β = 90 о

6.1 Прототип задания B6 ( 27771) В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 21 о. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах. 21 о ? 1 способ решения. CD - биссектрисаACB = 90 o ACD = BCD = 90 о : 2 = 45 о, 45 о В прямоугольном АСН: АСН = 45 о + 21 о = 66 о СН - высота 66 о Искомый угол: А = 90 о – 66 о = 24 о Ответ: 24 2 способ решения. ВСН = 45 о – 21 о = 24 о В прямоугольном ВСН: 24 о СВН = 90 о – 24 о = 66 о В прямоугольном АВС: Искомый угол: А = 90 о – 66 о = 24 о 66 о 66 о ˃ 24 о

6.2 Задание B6 ( 47671) Прототип В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 17 о. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах. 62 о 45 о 17 о ? 45 о CD – биссектриса прямого угла в АСВ. В прямоугольном АСН: АСН = 45 о + 17 о = 62 о. Искомый угол в АСН: А = 90 о – 62 о = 28 о 28 о Ответ: 28 Высота опущенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника разбивает треугольник на два подобных прямоугольных треугольника. 62 о Следовательно в ВСН: В = 62 о 28 о ˂ 62 о

6.3 Задание B6 ( 47705) Прототип В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 6 о. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах. 6о6о ? 45 о 39 о 51 о 39 о CD – биссектриса прямого угла в АСВ. Рассмотрим прямоугольный ВСН: Найдем сперва ВСН = 45 о – 6 о = 39 о В ВСН: СВН = 90 о – 39 о = 51 о Высота СН опущенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника АВС разбивает треугольник на два подобных прямоугольных треугольника: АСН ВСН. ВСН = САН = 39 о 39 о ˂ 51 о Ответ: 39

6.4 Задание B6 ( 47713) Прототип В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 29 о. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах. CD – биссектриса прямого угла в АСВ. 29 о 45 о 45 о 29 о В DСН: СDН = 90 о – 29 о = 61 о 61 о Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним х СDН = 61 о = х + 45 о 61 о = х + 45 о х = 61 о - 45 о х = 16 о Ответ: 16

Автор: Зенина Алевтина Дмитриевна учитель математики Использованы материалы сайтов:

Скоро ЕГЭ! Еще есть время подготовиться!