Тригонометрические функции произвольного угла Рассмотрим декартову систему координат и окружность единичного радиуса с центром в начале координат О. Такую окружность будем называть единичной. Каждому углу, 0 о < < 90 о, соответствует точка А на единичной окружности, полученная поворотом точки A 0 (1, 0) на угол против часовой стрелки. Поскольку гипотенуза ОА прямоугольного треугольника OAB равна единице, то, как легко видеть, синус этого угла будет равен ординате точки А, а косинус – абсциссе точки А.

Тригонометрические функции произвольного угла Определим sin и cos для 0 о < 360 о. Рассмотрим точку А, получающуюся поворотом точки A 0 (1, 0) на угол против часовой стрелки. Ордината этой точки называется синусом и обозначается sin. Абсцисса этой точки называется косинусом и обозначается cos.

Тригонометрические функции произвольного угла Определим поворот точки A 0 (1, 0) на градусную величину 360 о. Для этого представим в виде суммы = 1 + … + n, где 1, … n меньше 360 о. Результат последовательного выполнения поворотов на углы 1, …, n против часовой стрелки и будет искомым поворотом точки A 0 на. Ордината и абсцисса полученной в результате полного поворота точки A называется соответственно синусом и косинусом и обозначается sin и cos. Для градусных величин < 0 о поворот на определяется аналогичным образом, но делается в направлении по часовой стрелке. В этом случае sin и cos также полагаются равными соответственно ординате и абсциссе точки A полученной в результате поворота точки A 0.

Тригонометрические функции произвольного угла Тригонометрические функции tg и ctg для произвольных градусных величин определяются обычным образом, а именно, tg =, ctg =. Из определения синуса и косинуса непосредственно следует, что выполняются следующие тождества: (1) sin( +360 о ) = sin, cos( +360 о ) = cos ; (2) sin( +180 о ) = -sin, cos( +180 о ) = -cos ; (3) sin(- ) = -sin, cos(- ) = cos ; (4) sin(90 о - ) = cos, cos(90 о - ) = sin. Теорема. Для произвольных градусных величин имеет место основное тригонометрическое тождество

Пример 1 Ответ: 810 о. На какую градусную величину повернется минутная стрелка за 2 ч 15 мин?

Пример 2 Найдите sin 390 о и cos(-300 о ). Ответ: sin 390 о = sin(360 о +30 о ) = sin 30 о = cos(-300 о ) = cos(360 о -300 о ) = cos 60 о =

Упражнение 1 Найдите: а) sin 330 о ; б) sin(-150 о ); в) cos 420 о ; г) cos(-135 о ). Ответ: а) - ;б) - ;в) ;г) -.

Упражнение 2 Ответ: а) Нет, не могут; Могут ли синус и косинус произвольного угла принимать значения: а) большие 1; б) меньшие –1? б) нет, не могут.

Упражнение 3 Ответ: а) 360 о k < φ < 180 о +360 о k; Укажите, для каких градусных величин синус принимает: а) положительные значения; б) значения, равные нулю; в) отрицательные значения. б) φ = 180 о k; в) 180 о +360 о k < φ < 360 о о k.

Упражнение 4 Ответ: а) –90 о о k < φ < 90 о о k; Укажите, для каких градусных величин косинус принимает: а) положительные значения; б) значения, равные нулю; в) отрицательные значения. б) φ = 90 о о k; в) 90 о о k < φ < 270 о о k.

Упражнение 5 Ответ: а) φ = 90 о о k; Для каких градусных величин не определен: а) tg φ; б) ctg φ? б) φ = 180 о k.

Упражнение 6 Ответ: а) да; Могут ли тангенс и котангенс принимать значения: а) большие 1; б) меньшие –1? б) да.

Упражнение 7 Ответ: а) 180 о k < φ < 90 о о k; Для каких градусных величин φ тангенс принимает значения: а) больше нуля; б) равные нулю; в) меньше нуля? б) φ = 180 о k; в) -90 о о k < φ < 180 о k.

Упражнение 8 Ответ: а) 180 о k < φ < 90 о о k; Для каких градусных величин φ котангенс принимает значения: а) больше нуля; б) равные нулю; в) меньше нуля? б) φ = 90 о о k; в) 90 о о k < φ < 180 о о k.

Упражнение 9 Ответ: а) 45 о ; Найдите угол между лучом ОА и осью абсцисс, если точка А имеет координаты: а) (2, 2); б) (0, 3); в) (-, 1); г) (-, ). б) 90 о ; в) 150 о ; г) 135 о.

Упражнение 10 Ответ: а) 630 о ; На какую градусную величину повернется минутная стрелка за: а) 1 ч 45 мин; б) 2 ч 30 мин; в) 3 ч 20 мин? б) 900 о ; в) 1200 о.