Предел функции Второй замечательный предел Бесконечно малые функции Непрерывность функции в точке Точки разрыва функции Основные теоремы о непрерывных функциях Непрерывность функции на интервале и на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке

Второй замечательный предел Вторым замечательным пределом называется равенство: Следствия: Другие полезные формулы: Второй замечательный предел применяется для раскрытия неопределенности.

Второй замечательный предел

Бесконечно малые функции Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами; обозначают обычно греческими буквами α, β и т. д. Например: - бесконечно малая функция при Теорема Если функция y = f(x) имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(x) Функция y = f(x) называется бесконечно малой при если

Бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых Пусть α(х), β(х) – бесконечно малые функции Если то говорят, что α(х) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с β(х) : Если то говорят, что α(х) и β(х) – бесконечно малые одного и того же порядка. Если то α(х) и β(х) – эквивалентные бесконечно малые

Бесконечно малые функции Некоторые свойства бесконечно малых Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями: Бесконечно малые эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность является бесконечно малой высшего порядка относительно α и β. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой.

Бесконечно малые функции Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых при

Непрерывность функции в точке Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0, и в самой точке x 0. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x 0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке: (1)(1) Равенство (1) означает выполнение трех условий: 1 Функция y = f(x) определена в точке x 0 и в ее окрестности. 2Функция y = f(x) имеет предел при 3 Предел функции в точке x 0 равен значению функции в этой точке.

Непрерывность функции в точке Так как то равенство (1) можно записать в виде: Это значит, что при нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции: Равенство справедливо в силу непрерывности функции y = e x

Непрерывность функции в точке Пусть функция y = f(x) определена в некоторой интервале (a; b). Возьмем произвольную точку Разность x – x 0 называется приращением аргумента х в точке х 0 и обозначается: y 0 х х0х0 y 0 = f(x 0 ) х y = f(x ) Разность соответствующих значений функций f(x) – f(x 0 ) называется приращением функции f(x) в точке х 0 и обозначается: Приращения и могут быть положительными и отрицательными.

х y Непрерывность функции в точке y 0 х х0х0 y0y0 Преобразуем равенство (1): Полученное равенство является еще одним определением непрерывности функции в точке: Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x 0, если она определена в точке x 0 и ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Точки разрыва функции Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называется точками разрыва функции. Если x = x 0 – точка разрыва функции, то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности, а именно: y 0 х 2 Функция f(x) определена в окрестности точки х 0, но не определена в самой точке х 0 : 1 не определена в точке х = 2, но определена в любой окрестности этой точки, поэтому х = 2 - точка разрыва. Функция

Точки разрыва функции y 0 х 2 Функция f(x) определена в точке х 0 и в ее окрестности, но не существует предела f(x) при 2 определена в точке х = 2, но но не имеет предела при Функция не существует, значит х = 2 - точка разрыва

Точки разрыва функции y 0 х 2 3 х = 0 -точка разрыва Функция f(x) определена в точке х 0 и в ее окрестности, существует предела f(x) при, но этот предел не равен значению функции в точке х 0. 1

Точки разрыва функции Точка разрыва х 0 называется точкой разрыва 1 рода функции f(x), если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа: При этом: а) если, то х 0 - точка устранимого разрыва (в примере 3: х = 0 – точка устранимого разрыва 1 рода) б) если, то х 0 - точка конечного разрыва Величину называют скачком функции в точке разрыва 1 рода. ( в примере 2: х = 2 – точка разрыва 1 рода, скачек функции равен: )

Точки разрыва функции Точка разрыва х 0 называется точкой разрыва 2 рода функции f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. В примере 1: х = 2 – точка разрыва 2 рода.

Основные теоремы о непрерывных функциях Сумма, произведение и частное непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, где знаменатель равен нулю) Теорема 1 Теорема 2 Пусть функция u = g(x) непрерывна в точке x 0, а функция y = f(u) непрерывна в точке u 0 = g(x 0 ). Тогда сложная функция y = f(g(x)) непрерывна в точке x 0. Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Непрерывность функции в интервале и на отрезке. Функция y = f(х) называется непрерывной на интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция y = f(х) называется непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна на интервале (a; b), и в точке x = a непрерывна справа: а в точке x = b непрерывна слева:

Свойства функций, непрерывных на отрезке Теорема (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения Если функция y = f(х) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах неравные значения f(a) = A, f(b) = B, то на этом отрезке она принимает все значения между A и B. Теорема (Больцано - Коши) Следствие Если функция y = f(х) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция обращается в ноль: f(с) = 0 y 0 х a b c