V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH start

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Содержание: Определения сферы и шара Характеристики сферы(шара) Уравнение сферы Сечение сферы и шара плоскостью Касательная плоскость к сфере Поверхность шара Поверхность шарового сегмента, пояса и шара. Шаровой сегмент, слой и сектор Объемы Об авторе Управляющие кнопки Шпаргалки

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Определение сферы Сфера, или шаровая поверхность - это геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки, называемой центром сферы. O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Определение шара Шаром называется тело, ограниченное сферой. O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Радиус сферы - отрезок прямой, соединяющий центр с любой ее точкой, например AO = OB = R A B O B A O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Хорда – отрезок прямой, соединяющий две любые точки сферы, например MN и LP. N M L P M LN P O O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Диаметр – хорда, проходящая через центр сферы, например AC и BD. D C B A D A C B OO Задача

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Сечение сферы и шара плоскостью Сечение сферы любой плоскостью есть окружность. Сечение шара любой плоскостью есть круг. O O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Круг, образованный сечением шара плоскостью, проходящей через центр, называется большим кругом шара. Круг, образованный сечением плоскостью, не проходящей через центр, называется малым кругом шара. O O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Сечения, равноудаленные от центра шара, равны: A O B При AO = OB сечение плоскостью α равно сечению плоскостью β α β

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Из двух сечений, не одинаково удаленных от центра шара, больший радиус имеет то, которое ближе к центру: A O B При AO > OB сечение плоскостью α меньше сечения плоскостью β α β

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Всякая плоскость, проходящая через центр шара, делит его поверхность на две симметричные и равные части. O O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Через две точки сферы, не лежащие на концах одного диаметра, можно провести окружность большого круга и притом только одну. A B O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Окружности двух больших кругов при пересечении делятся пополам. O O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Уравнение сферы В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C (x 0 ; y 0 ; z 0 ) имеет вид (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = R 2 рисунокрисунок доказательстводоказательство устные задачи

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = R 2 С (x 0 ; y 0 ; z 0 ) M (x; y; z) R x y z 0

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Доказательство: Расстояние от произвольной точки M (x; y; z) до точки C вычисляется по формуле Если точка M лежит на данной сфере, то MC = R, или MC 2 = R 2, то есть координаты точки M удовлетворяют уравнению (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = R 2 Если же точка М не лежит на данной сфере, то координаты точки не удовлетворяют уравнению.

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Устные задачи Задача 1 Напишите уравнение сферы радиуса R с центром A, если A (2; –4; 7), R = 3 Задача 2 Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: (x – 3) 2 + (y + 2) 2 + z 2 = 25

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Касательная плоскость к сфере Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Свойство касательной к плоскости Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Доказательство O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Признак касательной к плоскости Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере. Доказательство O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Поверхность шара Сегментная поверхность шара Шаровой пояс

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Часть шаровой поверхности, отсекаемая от нее какой-нибудь плоскостью, называется сегментной поверхностью. O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Окружность пересечения плоскости с шаровой поверхностью называется основанием, а отрезок AB радиуса шара, перпендикулярного к плоскости сечения, - высотой сегментной поверхности. O C D A B CD A B O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Часть шаровой поверхности, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями называется шаровым поясом. O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Окружности сечений называются основаниями шарового пояса, а расстояние AB между параллельными плоскостями – высотой пояса. С1С1 D1D1 С2С2 D2D2 O A B С1С1 D1D1 С2С2 D2D2 O B A

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Поверхность шарового сегмента, пояса и шара. Площадь поверхности: шарового сегмента (сегментная поверхность) шарового пояса шара

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Сегментная поверхность равна произведению ее высоты на длину окружности большого круга: S сегм = 2πRh, где R – радиус большого круга шара, а h – высота сегментной поверхности. Задача O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Поверхность шарового пояса равна произведению высоты пояса на длину окружности большого круга: S пояса = 2πRh, где R – радиус окружности большого круга, а h – высота пояса. O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Площадь поверхности шара равна произведению длины окружности большого круга на диаметр: S шара = 4πR 2 где R – радиус шара. Поверхности шаров относятся, как квадраты их радиусов или диаметров. Задачи

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Шаровой сегмент, слой и сектор. шаровой сегмент шаровой слой шаровой сектор O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Шаровым сегментом называется тело, отсекаемое от шара плоскостью. O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Шаровым слоем называется тело, отсекаемое от шара двумя секущими параллельными плоскостями. O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора вокруг оси, лежащей в его плоскости, проходящей через его центр и не пересекающей сектора. O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Объемы Объем: шарового сектора шара шарового сегмента Отношение объемов шаров

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Объем шарового сектора равен произведению поверхности соответствующего шарового пояса (или шарового сегмента) на треть радиуса: O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Объем шара равен произведению его поверхности на треть радиуса: где R – радиус шара, D – диаметр. Задача O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Задача Даны два шара. Диаметр первого шара в 3 раза меньше диаметра второго шара. Найдите отношение их объемов.

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Решение: D 1 /D 2 = 1/3, следовательно R 1 /R 2 = 1/3, тогда V 1 R 1 1 V 2 R 2 27 Ответ: 4/3 πR 1 3 4/3 πR 2 3 3

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Объемы шаров относятся, как кубы их радиусов или диаметров. Задача R1R1 R2R2 V1V1 V2V2 3

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Объем шарового сегмента находится по формуле: Задача O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Задача Найдите площадь и объем шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен 9 см, а расстояние от центра основания до шара равно 3 см.

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Рисунки h = 3 см r = 9 см S сегм.пов - ? V сегм.пов - ? h r R OO Решение

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Решение:

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Доказательство: Предположим, что ОА не перпендикулярен плоскости, следовательно ОА - наклонная к плоскости, откуда ОА > R. По условию OA = R, получаем противоречие, поэтому ОА перпендикулярен плоскости, что и требовалось доказать. O

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является касательной к сфере, что и требовалось доказать.

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Задача Точка M – середина отрезка AB, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром O. Найдите:Найдите:

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH 1) OM, если R = 50 см, AB = 40 см; 2) AB, если R = 10 дм, OM = 60 см; 3) R, если AM = a, OM = b. Найдите: A B M O R

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH По теореме OM AB Рассм. AOB: OM – медиана (OA = OB) OM – высота Сл-но, AOB – равнобедренный Рассм. AMO: OM = AO 2 – AM 2 = R 2 – (AB/2) 2 = = 50 2 – (40/2) 2 = 10 2 (25 – 4) = см Ответ: OM = см 1)

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Из рассуждений предыдущей задачи AOB – равнобедренный, тогда AM = AO 2 – OM 2 = R 2 – OM 2 = = – 60 2 = 10 2 (100 – 36) = 80 см = 8 дм AB = 2AM = 16 дм Ответ: AB = 16 дм 2)

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Из рассуждений предыдущей задачи AOB – равнобедренный, тогда R = AO = AM 2 + OM 2 = a 2 + b 2 Ответ: R = a 2 + b 2 3)

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Задачи Задача 1 Площадь сферы равна 324π см 2. Найдите радиус сферы. Задача 2 Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 12 см. Расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы равно 3 см. Найдите площадь сферы.

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Решение задачи 1 A (2; –4; 7), R = 3 (x – 2) 2 + (y – (–4)) 2 + (z – 7) 2 = 3 2, тогда (x – 2) 2 + (y + 4) 2 + (z – 7) 2 = 9

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Решение задачи 2 (x – 3) 2 + (y + 2) 2 + z 2 = 25 (x – 3) 2 + (y – (–2)) 2 + (z – 0) 2 = 5 2, тогда A (3; –2; 0), R = 5

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Решение S = 324π S = 4πR 2, таким образом, 324π = 4πR 2 R 2 = 81 R = 9 (см) (т.к. R > 0) Ответ: R = 9 см

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Плоский чертеж O CA B AC = 12 см AB = 3 см S = ? Решение R R

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Решение:

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Задача Дан шар с радиусом 3см. Найти его объем.

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Решение

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Шпаргалки SбокSполн.повV Сегмент Слой(пояс) Сектор Шар

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Задача Сколько краски понадобится для покраски детали детской фигурки (рис.), если брать расход краски – ? Все данные указаны на рисунке

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Решение

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Управляющие кнопки Следующий слайд Предыдущий слайд Содержание

V = 4 / 3 πR 3 S = 4πR 2 S = 2πRH Об авторе Создатель проекта: Никитина Лилия Особая благодарность: Подольской Анастасии Васильевне