Задачи для школьников : 1. Знать: а) понятие теоремы, обратной данной; б) алгоритм доказательства методом от противного; в) теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. 2. Уметь применять эти знания при решении задач.

Теорема – это утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений. Такие рассуждения – доказательство теоремы. Свойство смежных углов – теорема: если углы смежные, то их сумма равна 180 о Если …, то … Условие (дано). Утверждение, заключение ( что следует доказать) Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы. Данная теорема Обратная теорема Дано: Доказать: Дано:

Данная теорема Обратная теорема Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. c b a 1 2 Дано: a; b; с – секущая; < 1 и < 2 – накрест лежащие; < 1 = < 2 Доказать: a b c b a 1 2 Дано: a; b; с – секущая; < 1 и < 2 – накрест лежащие; a b Доказать: < 1 = < 2

Алгоритм : 1.Предполагаем противоположное тому, что нужно доказать. 2.Выясняем, что следует из нашего предположения. 3.Находим противоречие с ранее изученными аксиомами, теоремами. 4.Делаем вывод: предположение неверно, а верно то, что нужно доказать.

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. c b a 1 2 Дано: a; b; a b, с – секущая; < 1 и < 2 – накрест лежащие; Доказать: < 1 = < 2 Доказательство (методом от противного). 1) Предположим, что < 1 = < 2. 2) Тогда существует < 3 = < 2 < 3 и < 2 – накрест лежащие m b, но по условию а b 3) m b; а b ; M a; M m. Противоречие с аксиомой параллельных прямых. 4) Вывод. Предположение неверно, а верно то, что надо доказать. Значит, < 1 = < 2 m 3 M

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. c b a 1 2 Дано: a; b; с – секущая; < 1 и < 2 – соответственные; a b Доказать: < 1 = < 2 3 Доказательство. < 1 = < 3 ( по теореме о накрест лежащих углах) < 2 = < 3 ( вертикальные); < 1 = < 2 Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 о. b a c Дано: a; b; с – секущая; < 1 и < 2 – односторонние; a b Доказать: < 1 + < 2 = 180 о Доказательство. < 1 = < 3 ( по теореме о накрест лежащих углах) < 2 + < 3 = 180 о (по свойству смежных углов); < 1 + < 2 = 180 о

c b a 1 2 Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. c b a 1 2 b a 1 2 c Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 о. Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.