ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Наряду с параллельным и ортогональным проектированиями, применяемыми в геометрии для изображения пространственных фигур, большое.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Наряду с параллельным и ортогональным проектированиями, применяемыми в геометрии для изображения пространственных фигур, большое.
Advertisements

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Пусть дана плоскость π и точка A пространства. Через точку A проведем прямую a, перпендикулярную плоскости π. Точку пересечения.
Определение. Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с ней ни одной общей точки. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Теорема.
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ Пусть дана плоскость π и точка A пространства. Через точку A проведем прямую a, перпендикулярную плоскости π. Точку пересечения.
Центральная симметрия Точки A и A' пространства называются симметричными относительно точки O, называемой центром симметрии, если O является серединой.
Параллельное проектирование Таким образом, каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A' на плоскость π. Это соответствие называется параллельным.
Упражнение 1 Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, ребра которого, выходящие из одной вершины, равны 2, 3, 6. Ответ: 7.
Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Параллельность прямых Для отношения.
Параллельное проектирование Пусть π - некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая. Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем.
Отрезок AB длины 1 вращается вокруг прямой c, параллельной этому отрезку и отстоящей от него на расстояние, равное 2. Найдите площадь поверхности вращения.
Презентация к уроку геометрии (10 класс) по теме: Перпендикулярность прямых и плоскостей
Б. Кавальери Бонавентуре Кавальери (1598 – 1647) принадлежат труды по тригонометрии, логарифмам, геометрической оптике и т.д., но главным делом его жизни.
ОБЪЕМ ФИГУР В ПРОСТРАНСТВЕ Объем – величина, аналогичная площади и сопоставляющая фигурам в пространстве неотрицательные действительные числа. За единицу.
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на.
Определение. Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с ней ни одной общей точки. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
ОБЪЕМ ФИГУР В ПРОСТРАНСТВЕ Объем – величина, аналогичная площади и сопоставляющая фигурам в пространстве неотрицательные действительные числа. За единицу.
1. Изобразите сечение единичного куба A…D 1, проходящее через вершины A, B, C 1. Найдите его площадь. Ответ..
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве называется длина общего перпендикуляра, проведенного.
Если многогранник лежит по одну сторону от данной плоскости, то он может: а) не иметь с плоскостью ни одной общей точки; б) иметь одну общую точку – вершину.
Транксрипт:

ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Наряду с параллельным и ортогональным проектированиями, применяемыми в геометрии для изображения пространственных фигур, большое значение для человека имеет, так называемое, центральное проектирование, используемое в живописи, фотографии и т.д. Само восприятие человеком окружающих предметов посредством зрения осуществляется по законам центрального проектирования. Пусть π - некоторая плоскость, S - не принадлежащая ей точка, центр проектирования. Для точки A пространства проведем прямую a, соединяющую эту точку с точкой S. Точка пересечения этой прямой с плоскостью π называется центральной проекцией точки A на плоскость π. Обозначим ее A'. Соответствие, при котором точкам A пространства сопоставляются их центральные проекции A', называется центральным проектированием или перспективой. (ПЕРСПЕКТИВА)

ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Если фигура Ф лежит в плоскости α, не проходящей через центр проектирования S, и параллельной плоскости проектирования π, то ее проекцией является фигура Ф, подобная Ф, и коэффициент подобия равен отношению расстояний от центра проектирования S до плоскостей π и α.

Перспектива 1 Центральное проектирование плоской фигуры Ф на плоскость, находящуюся между плоскостью фигуры Ф и центром проектирования S.

Перспектива 2 Центральное проектирование плоской фигуры Ф в случае, когда центр проектирования S расположен между плоскостью фигуры Ф и плоскостью проектирования.

Перспектива 3 Центральное проектирование плоской фигуры Ф в случае, когда плоскость фигуры Ф расположена между плоскостью плоскостью проектирования и центром проектирования S.

Куб 1 Центральная проекция куба на плоскость, параллельную плоскости грани куба.

Куб 2 Центральная проекция куба на плоскость, параллельную ребру куба.

Куб 3 Центральная проекция куба в общем случае.

Куб 4 Центральная проекция куба в общем случае.

Пирамида Центральная проекция правильной четырехугольной пирамиды.

Призма Центральная проекция правильной шестиугольной призмы.

Цилиндр Центральная проекция цилиндра.

А. Дюрер На гравюре А.Дюрера (1471 – 1528) показано получение перспективного изображения предмета с помощью натянутой нити.

Н.Н. Ге Русский художник и педагог Н.Н. Ге (1834 – 1894), обращаясь к своим ученикам, говорил: «Учите перспективу, и когда овладеете ею, внесите ее в работу, в рисование. Здесь мы представляем картину Н.Н. Ге «Петр I допрашивает царевича Алексея»

И.Е. Репин ( ) Не ждали

П.А. Федотов ( 1815 – 1852) Сватовство майора

Упражнение 1 Для всех ли точек пространства существует центральная проекция? Для каких точек она не существует? Ответ: Нет. Она не существует для точек плоскости, проходящей через центр проектирования и параллельной плоскости проектирования.

Упражнение 2 Могут ли при центральном проектировании параллельные прямые перейти в пересекающиеся? Ответ: Да.

Упражнение 3 В каком случае центральной проекцией двух прямых будут две параллельные прямые? Ответ: Если прямые параллельны плоскости проектирования.

Упражнение 4 Какое изображение фигуры получится в центральной проекции, если плоскость проектирования расположена между фигурой и центром проектирования? Ответ: Уменьшенное прямое.

Упражнение 5 Какое изображение фигуры получится в центральной проекции, если центр проектирования находится между фигурой и плоскостью проектирования? Ответ: Перевернутое.

Упражнение 6 Какое изображение фигуры получится в центральной проекции, если она расположена между плоскостью проектирования и центром проектирования? Ответ: Увеличенное прямое.

Упражнение 7 Что можно сказать о центральной проекции плоской фигуры, которая расположена в плоскости, параллельной плоскости проектирования? Ответ: Она будет подобна исходной.

Упражнение 8 Пусть прямая a пересекает плоскость и не проходит через точку S. Покажите на рисунке, куда при центральном проектировании переходит часть прямой a, расположенная: а) «выше»; б) «ниже» плоскости. Ответ: а) В точки лучей AD и SC без их начал, т.е. без точек A и S; б) в точки отрезка AS без его концов, т.е. без точек A и S.

Упражнение 9 На рисунке изображена центральная проекция куба. Объясните, как в каждом случае расположен куб относительно плоскости проектирования. Ответ: а) Грань ADD 1 A 1 куба параллельна плоскости проектирования; б) ребро BB 1 куба параллельно плоскости проектирования; в) грань ABCD куба параллельна плоскости проектирования и точка F лежит внутри изображения этой грани; г) плоскость проектирования не параллельна никакому ребру куба.

Упражнение 10 На рисунке изображена центральная проекция правильной четырёхугольной пирамиды. Объясните, как она расположена относительно плоскости проектирования. Ответ: а) Плоскость основания пирамиды параллельна плоскости проектирования, и прямая SM перпендикулярна плоскости проектирования, где S – центр проектирования, M – вершина пирамиды; б) плоскость основания пирамиды параллельна плоскости проектирования; в) плоскость основания не параллельна плоскости проектирования.

Упражнение 11 На рисунке изображена центральная проекция прямого кругового цилиндра. Как цилиндр расположен относительно плоскости проектирования? Ответ: Плоскость проектирования параллельна основаниям цилиндра.

Упражнение 12 Дорисуйте центральную проекцию куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на плоскость, параллельную плоскости грани ABB 1 A 1. Ответ.

Упражнение 13 Расстояние от центра проектирования до плоскости грани ABB 1 A 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, изображенного на рисунке, равно 10. Найдите расстояние от центра проектирования до плоскости грани CDD 1 C 1. Ответ. 20.

Упражнение 14 Дорисуйте центральную проекцию куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на плоскость, параллельную плоскости грани ABB 1 A 1. Ответ.

Упражнение 15 Расстояние от центра проектирования до плоскости грани CDD 1 C 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, изображенного на рисунке, равно 16. Найдите ребро куба. Ответ. 8.

Упражнение 16 Изобразите центральную проекцию куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на плоскость, перпендикулярную ребру AA 1, центр S проектирования лежит на продолжении этого ребра. Ответ.

Упражнение 17 Изобразите центральную проекцию куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на плоскость, не перпендикулярную ребру AA 1, центр S проектирования лежит на продолжении этого ребра. Ответ.

Упражнение 18 Изобразите центральную проекцию куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на плоскость, перпендикулярную диагонали AC 1, центр S проектирования лежит на продолжении этой диагонали. Ответ. На рисунках показаны изображения, полученные с помощью компьютерных программ.

Упражнение 19 Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проектируется на плоскость грани ABB 1 A 1. При этом стороны квадрата, являющегося проекцией грани CDD 1 C 1 равны 0,4. Найдите расстояние от центра проектирования до плоскости проектирования. Ответ.

Упражнение 20 Изобразите центральную проекцию правильной четырехугольной пирамиды SABCD на плоскость, перпендикулярную ребру AS, центр S проектирования лежит на продолжении этого ребра. Ответ.

Упражнение 21 Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 на плоскость, перпендикулярную отрезку OO 1, соединяющему центры ее оснований, центр S проектирования лежит на продолжении этого отрезка. Ответ.

Упражнение 22 Правильная шестиугольная призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, проектируется на плоскость грани A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1. При этом стороны шестиугольника, являющегося проекцией грани ABCDEF равны 0,6. Найдите расстояние от центра проектирования до плоскости проектирования. Ответ. 1,5.

Упражнение 23 Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 на плоскость, перпендикулярную ребру AA 1, центр S проектирования лежит на продолжении этого ребра. Ответ.

Упражнение 24 Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 на плоскость, перпендикулярную отрезку, соединяющему центры противоположных боковых граней, центр S проектирования лежит на продолжении этого отрезка. Ответ.

Упражнение 25 Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 на плоскость, перпендикулярную отрезку, соединяющему середины противоположных боковых ребер, центр S проектирования лежит на продолжении этого отрезка. Ответ.