Простые числа. Ефимова Марина, ученица 7 класса МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской Республики» Руководитель учитель математики МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской Республики» Кириллова С.М.

Простые числа Цель работы: - исследовать, так ли проста история простых чисел; - есть ли самое большое простое число? - и сколько всего существуют простых чисел?

Определение простых чисел Одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителей, например,6=2*3, 9=3*3, 30=2*15=3*10, в то время как другие, например 3, 7, 13, 37, не могут быть разложены подобным образом. Когда число с = аb является произведением двух чисел а и b, то числа а и b называются множителями или делителями числа с. Каждое число может быть представлено в виде произведения двух сомножителей. Например, с = 1 * с = с * 1. Простым называется число, которое делится только само на себя и на единицу.

«Нужно исключить единицу из последовательности простых чисел, она не является ни простым, ни составным» Пифагорейцы учили, что единица матерь всех чисел, дух, из которого происходит весь видимый мир, она есть разум, добро, гармония. Профессор Никольский с помощью единицы ухитрился доказать существование Бога. Он говорил: «Как не может быть числа без единицы, так и Вселенная без единого Владыки существовать не может». Единица и в самом деле число уникальное по свойствам: она делится только сама на себя, но любое другое число на нее делится без остатка, любая ее степень равна тому же самому числу единице! 1 Эйлер

Леонард Эйлер ( ) Он, как и многие его предшественники, искал магическую формулу, которая позволяла бы выделить простые числа из бесконечного множества чисел натурального ряда, т. е. из всех чисел, какие можно себе представить... Доказано, например, что число простых чисел неограничено, т. е.: 1) нет самого большого простого числа; 2) нет последнего простого числа, после которого все числа были бы составными. Первое доказательство этого положения принадлежит ученым древней Греции (V-Ш вв. до н. э.), второе доказательство Эйлеру ( ). Эйлер написал более ста сочинений по теории чисел.

Основная теорема арифметики Всякое натуральное число, отличное от 1, либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причем однозначно, если не обращать внимания на порядок следования множителей. Если число n не делится ни на одно простое, не превосходящее n, то оно является простым.

Простые числа Мерсена вида M p = 2 p – 1, где р другое простое число. Общий способ нахождения больших простых чисел Мерсена состоит в проверке всех чисел M p для различных простых чисел р. Получим простые числа: M 2 = 2 2 – 1 = 3 M 3 = 2 3 – 1 = 7 M 5 = 2 5 – 1 = 31 M 7 = 2 7 – 1 = 127 M 11 = 2 11 – 1 = 2047 = 23 * 89 - составное

Простые числа Ферма F n = 2 2 n + 1. F 0 = = 3; F 1 = = 5; F 2 = = 17; F 3 = = 257; F 4 = = Пьер Ферма ( )

Решето Эратосфена Эратосфен создал таблицу простых чисел от 1 до 120 более 2000 лет назад 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35 Простые числа:2, 3, 5, 7, 11, 13,17,19, 23, 29, 31

Панфутий Львович Чебышев ( ) «Первым после Евклида Чебышев пошел правильным путем при решении проблемы простых чисел и достиг важных результатов». Немецкий математик Э. Ландау В 1850 г. доказал, что между любым натуральным числом (не равным 1) и числом, в два раза больше его (т. е. между n и 2n), находится хотя бы одно простое число. n = 5, 2n = 10; (число 7) n = 12, 2n = 24; (числа 13, 17,19) 2 и 3 простые числа. Это единственная пара простых чисел, стоящих рядом. Затем идут 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 и т.д. Это так называемые смежные простые числа или близнецы. Близнецов много: 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73, 101 и 103, 827 и 829 и т. д. Самая большая известная сейчас пара близнецов такая: и

Проблема Гольдбаха «всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел» Выпишем все простые числа от 1 до 50: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. А теперь попытаемся любое число от 4 до 50 представить в виде суммы двух или трех простых чисел. Возьмем несколько чисел наугад: 50=47+3, 46 =43+3, 32 = , 22 = , 18=13+5. Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал.

Иван Матвеевич Виноградов – один из крупнейших современных математиков Разрешил проблему Гольдбаха Эйлера, т.е. доказал, что всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел

Заключение. Многие искали магическую формулу, которая позволяла бы выделить простые числа из бесконечного множества чисел натурального ряда и ими доказано: 1) нет самого большого простого числа; 2) нет последнего простого числа, после которого все числа были бы составными. Итак, число простых чисел бесконечно.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!