Векторы Вектором в пространстве называется направленный отрезок, т.е. отрезок, в котором указаны его начало и конец. Длиной, или модулем, вектора называется длина соответствующего отрезка. Длина векторов, обозначается соответственно,. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и направление. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается и изображается стрелкой с началом в точке А и концом в точке В. Рассматривают также нулевые векторы, у которых начало совпадает с концом. Все нулевые векторы считаются равными между собой. Они обозначаются, и их длина считается равной нулю.

Сложение векторов Для векторов определена операция сложения. Для того чтобы сложить два вектора и, вектор откладывают так, чтобы его начало совпало с концом вектора. Вектор, у которого начало совпадает с началом вектора, а конец - с концом вектора, называется суммой векторов и, обозначается

Свойства сложения векторов Свойство 1. (переместительный закон). Свойство 2. (сочетательный закон).

Умножение вектора на число Произведение вектора на число t обозначается. По определению, Произведение вектора на число -1 называется вектором, противоположным и обозначается По определению, вектор имеет направление, противоположное вектору и Произведением вектора на число t называется вектор, длина которого равна, а направление остается прежним, если t > 0, и меняется на противоположное, если t < 0. Произведением вектора на нуль считается нулевой вектор.

Свойства Разностью векторов и называется вектор, который обозначается Для умножения вектора на число справедливы свойства, аналогичные свойствам умножения чисел, а именно: Свойство 1. (сочетательный закон). Свойство 2. (первый распределительный закон). Свойство 3. (второй распределительный закон).

Упражнение 1 В каком случае длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых? Ответ: Если векторы одинаково направлены.

Упражнение 2 Точка B - середина отрезка AC, а точка C - середина отрезка BD. Равны ли векторы: а) и ; б) и ? Ответ: а) Да; б) нет.

Упражнение 3 Ответ: а) и, и, и ; Назовите пары: а) одинаково направленных векторов; б) противоположно направленных векторов, с началом и концом в вершинах параллелепипеда A...D 1. б) и, и, и.

Упражнение 4 В кубе A…D 1 назовите вектор, равный: а) б) в) г) Ответ: а) ; б) ;в)г)

Упражнение 5 Ответ: а) Да;б) да;в) да;г) нет. Для параллелепипеда A...D 1 выясните, верны ли следующие утверждения: а) ; б) ; в) ; г).

Упражнение 6 Ответ: а)б)в) г) В параллелепипеде A...D 1 укажите векторы, равные: а) б) в) г)

Упражнение 7 Ответ: A...D 1 - параллелепипед. Упростите выражение

Упражнение 8 Ответ: A...F 1 – правильная призма. Упростите выражение

Упражнение 9 В единичном кубе A...D 1 найдите длину вектора Ответ.. Решение. Данная сумма векторов равна вектору Его длина равна.

Упражнение 10 В единичном кубе A...D 1 найдите длину вектора Ответ.. Решение. Данная сумма векторов равна вектору Его длина равна.

Упражнение 11 В единичном кубе A...D 1 найдите длину вектора Ответ.. Решение. Данная сумма векторов равна удвоенному вектору где O 1 – середина отрезка B 1 D 1. Его длина равна.

Упражнение 12 В правильной треугольной призме ABСA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите длину вектора Ответ. Решение. Длина данного вектора равна длине вектора удвоенного вектора где O – середина отрезка BC. Его длина равна

Упражнение 13 В правильной треугольной призме ABСA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите длину вектора Ответ. Решение. Длина данного вектора равна длине вектора вектора т.е. равна

Упражнение 14 В правильной треугольной призме ABСA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите длину вектора Ответ. Решение. Длина данного вектора равна длине вектора вектора т.е. равна