Теория вероятностей Основные понятия

Этапы развития теории вероятностей »2-я половина XVI века – первые задачи » по теории вероятностей. Конец XVII- начало XIX века – формирование как самостоятельной научной дисциплины. Конец XIX – конец XX века – современный этап развития. Л.Пачоли Д.Кардано Н.Тарталья Б.Паскаль Я. Бернулли А.Муавр П.Лаплас С.Пуассон П.Л.Чебышёв А.А.Марков А.М.Ляпунов А.Я.Хинчин А.Н.Колмогоров

Основные понятия Стохастический эксперимент ( испытание, опыт) – - это такой эксперимент, результаты которого заранее нельзя предугадать. Примеры. –1. Бросание монеты; –2. Выстрел по мишени; –3. Бросание игральной кости (кубика); –4. Измерение физической величины (длины изделия, влажности или температуры, давления)

Случайное событие – - это такое событие, которое может произойти (наступить) или не произойти в результате данного эксперимента. –Обозначения событий: A, B, C,…,ω,… –Пример 1. Бросание монеты. А=(выпадение герба) B=(выпадение цифровой надписи) Основные понятия

–Пример 2. Бросание игральной кости. =(выпадение цифры 1) =(выпадение цифры 2) =(выпадение цифры 6) А=(выпадение четного числа) В=(выпадение числа, меньше чем 4)

Основные понятия Рассмотрим множество всех событий, которые могут произойти или не произойти в данном эксперименте. –Невозможное событие – событие, которое –не может наступить в данном эксперименте - Ǿ. –Достоверное событие – событие, которое обязательно произойдет в данном эксперименте – Ω.

Основные понятия –Пример 2. Бросание игральной кости. =(выпадение цифры 1) =(выпадение цифры 2) =(выпадение цифры 6) А=(выпадение четного числа) В=(выпадение числа, меньше чем 4) Ǿ=(выпадение числа, больше чем 6) Ω=(выпадение какого-либо числа от 1 до 6)

Основные понятия Действия со случайными событиями Сумма А+В Разность А-В Произведение АВ

Основные понятия Сумма двух событий А и В – это такое событие С=А+В, которое происходит тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А и В. Разность двух событий А и В – это такое событие С=А-В, которое происходит тогда, когда А – наступает, а В – не наступает. Произведение двух событий А и В – это такое событие С=АВ, которое происходит тогда и только тогда, когда наступают и А и В вместе.

Основные понятия Пример (диаграммы Венна). В квадрате случайным образом выбирают точку ( в квадрат случайным образом бросают точку ). А А =(точка попадает в круг А)

Основные понятия В=(точка попадает в треугольник В) В А А+В=(точка попадает хотя бы в одну фигуру А и В).

Основные понятия А-В=(точка попадет в круг А –и не попадет в треугольник В) А В A

Основные понятия В A АВ=(точка попадает в обе фигуры А и В).

Основные понятия Событие называется противоположным к событию, если наступает тогда и только тогда, когда событие не наступает. А А =(точка попадает в круг А) =(точка не попадает в круг А)

Основные понятия События А и В называются несовместными, если они не могут наступить вместе в одном эксперименте. В A А =(точка попадает в круг А) В=(точка попадает в треугольник В) А и В – несовместные события

Свойства операций А+В=В+А (А+В)+С=А+(В+С) А+Ǿ=А А+Ω=Ω АВ=ВА А(ВС)=(АВ)С АǾ=Ǿ АΩ=A Ǿ (А+В)С=АC+BС (Д.з.)

Пространство элементарных событий »Рассмотрим стохастический эксперимент. 1.События ω взаимно исключают друг друга. 2. В результате эксперимента обязательно наступает какое –либо одно из них. 3. Для любого события А, по наступлению события ω можно сказать о том, наступило или не наступило событие А. События ω - элементарные.

Пространство элементарных событий –Пример 3. Бросание игральной кости. =(выпадение цифры 1) =(выпадение цифры 2) =(выпадение цифры 6)

Пространство элементарных событий Пример 4. –Завод выпускает N однотипных изделий. –Для оценки качества выбирают и исследуют m изделий. ω – любой набор из m изделий. - пространство элементарных событий.

Определение вероятности Рассмотрим стохастический эксперимент. - конечное или счетное множество элементарных событий.

Определение вероятности Свойства вероятности: 1) 2) P(Ǿ)=0

Частота события Пусть n – число повторений одного и того же стохастического эксперимента. m(A) – число наступлений события А. Проводятся различные серии из n повторений одного и того же стохастического эксперимента при Определение. Событие А называется стохастически устойчивым, если В этом случае Р(А)=р.

Частота события Пример. Бросание монеты. А=(выпадение герба). Бюффон (XVII век). n=4040, m(A)=2048. К.Пирсон (конец XIX века). n=24000, m(A)= P(A)=0,5

Классическая схема -пространство элементарных событий - конечное (i=1, …,n). Пусть событие А может наступить при наступлении m элементарных событий

Классическая схема –Пример 3. Бросание игральной кости. =(выпадение цифры 1) =(выпадение цифры 2) =(выпадение цифры 6) Равновозможные события А=(выпадение четного числа) В=(выпадение числа, меньше чем 4)

Классическая схема Пример (парадокс де Мере). Бросают 3 игральных кости. А=(сумма очков равна 11) ={(6+4+1),(6+3+2),(5+5+1),(5+4+2), (5+3+3),(4+4+3)} m(A)=6. В=(сумма очков равна 12) ={(6+5+1),(6+4+2),(6+3+3),(5+5+2), (5+4+3),(4+4+4) m(B)=6. Из наблюдений игры в кости следовало, что Р(А)>Р(В) !

Геометрическая схема Пример. В квадрате случайным образом выбирают точку ( в квадрат случайным образом бросают точку ). А А =(точка попадает в круг А)

Геометрическая схема На фигуре Ф случайным образом выбирают точку (любое положение точки равновозможно). А=(точка попадает в область А). Ф А

Геометрическая схема Пример. На отрезок длины L наугад бросается точка. Какова вероятность того, что она упадет не дальше, чем на расстоянии m от середины отрезка. Решение. L 2m А =(точка упадет не далее, чем на расстоянии m от середины ) = (точка попадает на отрезок длины 2m)

Аксиоматическое определение вероятности Ω – пространство элементарных событий в некотором стохастическом эксперименте. Случайные события – это подмножества пространства Ω. Определение 1. Класс A подмножеств пространства Ω называется алгеброй множеств, если 1) Ω є A, Ǿ є A ; 2) є A є A ; 3) B,C є A (B+C) є A, (BC) є A.

Аксиоматическое определение вероятности Определение 2 (аксиоматика Колмогорова). Вероятностью Р называется числовая функция, определенная на алгебре событий A и удовлетворяющая следующим аксиомам : Аксиома 1. Для любого события В є A : Р(В)0. Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице: Р(Ω)=1. Аксиома 3. Если В,С є A и ВС=Ǿ, то Р(В+С)=Р(В)+Р(С). Тройка (Ω, A, Р) называется вероятностным пространством.

Аксиоматическое определение вероятности Примеры. 1) Классическая вероятность удовлетворяет аксиомам. 2) Геометрическая вероятность удовлетворяет аксиомам.

Основные теоремы Рассмотрим вероятностное пространство ( Ω, A, Р ). Теорема 1 (вероятность противоположного события). А є A Ā є A, Доказательство. Ǿ

Основные теоремы Теорема 2 (вероятность суммы событий). А,В є A Доказательство. Ǿ В А Ǿ

Условная вероятность Определение. Пусть Р(А)>0. Условной вероятностью Р(В/А) события В при условии, что событие А наступило, называется число Обозначения: Условная вероятность удовлетворяет всем аксиомам вероятности. В частности,

Основные теоремы Теорема 3 (вероятность произведения событий). А,В є A Доказательство. По определению:

Независимые события Определение. Пусть Р(А)>0 и Р(В)>0. Событие А не зависит от В, если Следствие. Если событие А не зависит от В, то и событие В не зависит от А. Доказательство.

Независимые события Определение. События А и В называются независимыми, если На практике из физической независимости событий делают вывод о теоретико-вероятностной независимости.

Независимые события Пример. Определить надежность (вероятность безотказной работы за время Т) схемы из двух последовательно соединенных элементов, если надежность элементов и Решение. А=(работает элемент А) р(А)=р 1 В=(работает элемент В) р(В)=р 2 С=(схема работает) С=АВ р(С) = р(АВ) А и В – ( физически ) независимые события АВ

Независимые события Теорема 4 (вероятность наступления хотя бы одного события). Пусть А и В независимые события, р(А)=р 1, р(В)=р 2, С=(наступит хотя бы одно из событий А и В). Обозначим: Тогда Доказательство.

Полная группа событий События образуют полную группу, если они 1) попарно несовместны 2) в результате эксперимента обязательно какое- либо одно из них наступит Пример 1. В стохастическом эксперименте рассмотрим события Они образуют полную группу. - гипотезы

Полная группа событий –Пример 2. Бросание игральной кости. =(выпадение цифры 1) =(выпадение цифры 2) =(выпадение цифры 6) Пусть А=(выпадение четного числа) и В=(выпадение нечетного числа) События А и В образуют полную группу. - полная группа событий

Формула полной вероятности Теорема. Если события образуют полную группу и, то для любого события А справедлива формула

Формула полной вероятности Доказательство. Ǿ

Формула полной вероятности Пример 1. Представьте себе странника, идущего из некоторого пункта «R» в пункт «H», но он не может вспомнить, по какой дороге идти. Какова вероятность того, что он попадет в пункт «Н»? R H

Формула полной вероятности Решение. А=(странник попал в пункт Н) R H

Формула полной вероятности Пример 2. Три бригады ведут укладку бетонных блоков. Первая бригада выполняет 50% всего объема работ, вторая - 30% и третья – все остальное. Вероятность появление брака для первой бригады равна 0,05, второй – 0,06 и третьей – 0,1. Найти вероятность того, что случайно выбранный и проверенный блок оказался установлен с нарушением технологии.

Формула полной вероятности Решение. А=(блок установлен с нарушением технологии)

Формула Байеса Теорема. Пусть события образуют полную группу. Пусть событие А наступило ( Р(А)>0 ). Тогда вероятность того, что при этом была реализована гипотеза вычисляется по формуле

Формула Байеса Пример 3. Три бригады ведут укладку бетонных блоков. Первая бригада выполняет 50% всего объема работ, вторая - 30% и третья – все остальное. Вероятность появление брака для первой бригады равна 0,05, второй – 0,06 и третьей – 0,1. Случайно выбранный и проверенный блок оказался установлен с нарушением технологии. Какова вероятность того, что он был уложен третьей бригадой ?

Формула Байеса Решение. Из примера 2 :

Парадокс де Мере Б.Паскаль: Элементарные события – (i,j,k), где i,j,k=1,…,6. А=(сумма очков равна 11) =(6,4,1)+ +( 6,3,2)+( 5,5,1)+( 5,4,2)+(5,3,3)+(4,4,3) (6,4,1) (6,1,4) (4,6,1) (4,1,6) (1,6,4) (1,4,6) В=(сумма очков равна12)=(6,5,1)+ +(6,4,2)+(6,3,3)+(5,5,2)+(5,4,3)+ (4,4,4). только один исход

Свойства операций В АА В C C C (A+B)C AC BC + =