© Кошля Л.Н. учитель информатики

Системы счисления Система счисления Система счисления –совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов. Системы счисления ПозиционныеНепозиционные Римская Десятичная Двоичная Троичная Восьмеричная Шестнадцатеричная

Позиционные СС Система счисленияОснова ние Алфавит Десятичная Двоичная2 0 1 Троичная Восьмеричная Шестнадцатеричная A B C D E F

Позиционные СС В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры числа зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра этого числа. Например, меняя позицию цифры 2 в десятичной системе счисления, можно записать разные по величине десятичные числа, например 2; 20; 2000; 0,02 и т. д. Основные достоинства любой позиционной системы счисления простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

Непозиционные СС Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII = (X + Х + X) + (I + I) = Пример 2. Число 444 в римской системе счисления будет записано в виде СDХLIV = (D - С) + (L - X) + (V - I) = СDХLIV = (D - С) + (L - X) + (V - I) = Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления имеет вид МСМLХХIV = М + (М - С) + L + (X + X) + (V - I) = Римская СС, в которой независимо от местоположения одинаковый символ имеет неизменное значение (например, символ X в числе XXV).

Непозиционные СС Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков: 1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел. 2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа. 3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Развёрнутая форма записи числа 1. Десятичное число А 10 =4718,63 в развернутой форме: А 10 =4· · · · · · Двоичное число А 2 =1001,1 в развернутом виде: А 2 =1·2 3 +0·2 2 +0·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 = 8+1+0,5 = 9, Восьмеричное число А 8 =7764,1 в развернутом виде: А 8 =7·8 3 +7·8 2 +6·8 1 +4·8 0 +1·8 -1 = ,125 = 4084, Запись 3АF 16 означает: 3АF 16 = 3· · ·16 0 = =

Задания для самостоятельного выполнения 1. Какой числовой эквивалент имеет цифра 6 в числах: а) 6789 б) 3650 в) 16 г) Сравните числа III и 111, записанные в римской и десятичной системах счисления.. 3. Какие числа записаны римскими цифрами: а) MCMXCIX; б) CMLXXXVIII; в) MCXLVII? 4. Запишите год, месяц и число своего рождения c помощью римских цифр. 5. Некоторые римские цифры легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько неверных равенств. Как можно получить из них верные равенства, если разрешается переложить с одного места на другое только одну спичку (палочку)? а)VII - V=XI б) IX-V=VI в) VI - IX=III г) VIII - III=X

Задания для самостоятельного выполнения 6. Запишите в развернутом виде числа: а) А 8 =143511; г) А 10 =143,511; б) А 2 =100111; д) А 8 =0,143511; в) А 16 =143511;е) А 16 =1A3,5C1. 7. Запишите в свернутой форме следующие числа: а) А 10 = 9· · · ·10 -2 ; б) А 16 =А· · · · Какое из чисел , 111 4, 35 8 и 1В 16 является: а) наибольшим; б) наименьшим. 9. В классе девочек и мальчиков. Сколько учеников в классе?

Дополнительные задания 1. В классе 36 q учеников, из них 21 q девочек и 15 q мальчиков. В какой системе счисления велся счет учеников? 2. В саду 100 q фруктовых деревьев, из них 33 q яблони, 22 q груши, 16 q слив и 5 q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья? 3. Было 100 q яблока. После того как каждое из них разрезали пополам, стало 1000 q половинок. В системе счисления с каким основанием вели счет? 4. У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую Пример 1. Перевести десятичное число в восьмеричную систему счисления: Получаем: =255 8 Пример 2. Перевести десятичное число в шестнадцатеричную систему счисления: Получаем: =AD 16.

Задания для самостоятельного выполнения Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления. ДвоичнаяВосьмеричнаяДесятичнаяШестнадцатери чная

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую 1. Перевести десятичную дробь 0, в двоичную систему счисления. Получаем: 0, = 0,1001 2

2. Перевести число 0, в шестнадцатеричную систему счисления. Получаем: 0, = 0,А8 16

Задания для самостоятельного выполнения Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число должно быть записано в различных системах счисления. ДвоичнаяВосьмеричнаяДесятичнаяШестнадцатери чная 0,101 0,6 0,125

Перевод произвольных чисел 1. Перевести число 17,25 10 в двоичную систему счисления. Получаем: 17,25 10 = 10001,01 2

Перевод произвольных чисел 2. Перевести число 124,25 10 в восьмеричную систему. Получаем: 124,25 10 = 174,2 8

Задания для самостоятельного выполнения Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же произвольное число (число может содержать как целую, так и дробную часть) должно быть записано в различных системах счисления. ДвоичнаяВосьмеричнаяДесятичнаяШестнадцатери чная ,1 233,5 46,5625

Проверочная работа по теме «Перевод чисел из одной СС в другую» 1. Переведите числа в десятичную систему счисления: 341, , Запишите десятичное число в системе счисления с основанием 2. 21,25 34,5 3. Выполните перевод числа по схеме: А 8 А 2 А , ,71 8

Арифметические операции в двоичной системе счисления сложения Рассмотрим несколько примеров сложения двоичных чисел:

Арифметические операции в двоичной системе счисления вычитания Рассмотрим несколько примеров вычитания двоичных чисел:

Арифметические операции в двоичной системе счисления умножения Рассмотрим несколько примеров умножения двоичных чисел:

Арифметические операции в двоичной системе счисления деления Рассмотрим пример деления двоичных чисел:

Задания для самостоятельного выполнения 1. Выполните арифметические операции: а) б) в) AF г) д) е) AF ж) × з) 67 8 × 23 8 и) AF 16 × к) : 10 2 л) 74 8 : 24 8 м) 5A 16 : 1E Вычислите выражения: а) ( AF 16 ) / 36 8 ; б) × A Найдите среднее арифметическое следующих чисел: а) , и ; б) 226 8, и 62 8.

Вычисления в позиционных системах счисления с использованием калькулятора Проверить с помощью Калькулятора правильность выполнения заданий по переводу чисел из одной системы счисления в другую и выполнения арифметических операций в различных системах счисления.

Перевод чисел из двоичной СС в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно Для того, чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2 n, нужно: 1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой. 2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2 n.

Пример 1. Число переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: Пример 2. Число переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число справа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 200F Перевод целых чисел

Перевод дробных чисел Пример 1. Число 0, переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0, Пример 2. Число 0, переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 0,803 16

Перевод произвольных чисел Пример 1. Число , переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,34 8. Пример 2. Число , переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем целую и дробную части числа на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D2 16.

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной СС в двоичную систему Пример 1. Переведем шестнадцатеричное число 4АС35 16 в двоичную систему счисления. В соответствии с алгоритмом: Получаем:

Задания для самостоятельного выполнения 1. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную СС числа: ; ; 0, ; 0, ; 11,01 2 ; 110, Перевести в двоичную СС числа: 46,27 8 EF,12 16

Домашнее задание 1. Провести сложение, вычитание, умножение и деление чисел и Сложить числа 5 8 и 4 8, 17 8 и Провести вычитание чисел: F 16 и A 16 ; и Сложить числа: 17 8 и ; 41 8 и

Контрольная работа 1. Выполнить перевод чисел из десятичной системы в двоичную: Осуществить сложение чисел в двоичной системе счисления: Осуществить вычитание чисел в двоичной системе счисления: