ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Работа ученицы 11 А класса Ильиной Ксении

Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида sin x=a, cos x=a, tg x=a, где a - действительное число.

К настоящему моменту мы знаем, что: Если |a|1, то решения уравнения cos x=a имеют вид x=± arccos a+2πn, Если |a|1, то решения уравнения sin x=a имеют вид x=(-1) n arcsin a+πn, или, что то же самое, x= arcsin a+2πk, x=π- arcsin a+2пk; или, что то же самое, x= arcsin a+2πk, x=π- arcsin a+2пk; Если |a|>1, то уравнения cos x=a, sin x=a не имеют решений.

Решения уравнения tg x=a для любого значения a имеют вид x= arctg a+πn; Особо важны частные случаи: sin x=0, x=πn; sin x=1, x=π/2+2πn; sin x=-1, x=-π/2+2πn; cos x=0, x=π/2+πn; cos x=1, x=2πn; cos x=-1, x=π+2πn. Во всех перечисленных формулах подразумевается, что параметр (n,k) принимает любые целочисленные значения (nZ, kZ). Во всех перечисленных формулах подразумевается, что параметр (n,k) принимает любые целочисленные значения (nZ, kZ).

К простейшим относят обычно и уравнения вида T(kx+m)=a, где T – знак какой-либо тригонометрической функции.

Пример 1. Решить уравнения: a) sin 2x=1/2 2x=(-1) n arcsin 1/2+πn, имеем arcsin 1/2=π/6. Значит, 2x=(-1) n π/6+πn; x=(-1) n π/12+πn/2. б) cos 3x=-2/2; Решения уравнения имеют вид: x=± arccos a+2πn, если a>0, но помним, что |a|1. Для нашего примера: 3x=± arccos (-2/2) +2πn, 3x=±(π- arccos 2/2)+2πn, 3x=±(π- arccos 2/2)+2πn, 3x=±(π-π/4)+2πn, 3x=±(π-π/4)+2πn, 3x=±3π/4+2πn, 3x=±3π/4+2πn, x=±π/4+2πn/3, где nZ x=±π/4+2πn/3, где nZ

в) tg (4x-π/6)= 3/3. 4x-π/6= arctg 3/3+πn; arctg 3/3=π/6. 4x-π/6= arctg 3/3+πn; arctg 3/3=π/6. 4x-π/6=π/6+πn; 4x-π/6=π/6+πn; 4x=π/6+π/6+πn, 4x=π/6+π/6+πn, 4x=π/3+πn, 4x=π/3+πn, x=π/12+πn/4, где nZ. x=π/12+πn/4, где nZ.

Пример 2. Найти те корни уравнения sin2x=1/2, которые принадлежат отрезку [0; π]. Решение. Сначала решим уравнение в общем виде: sin 2x=1/2 2x=(-1) n arcsin 1/2+πn, 2x=(-1) n arcsin 1/2+πn, 2x=(-1) n π/6+πn; 2x=(-1) n π/6+πn; x=(-1) n π/12+πn/2. x=(-1) n π/12+πn/2. Далее придадим параметру n последовательно значения 0,1,2,…,-1,-2,… и подставим эти значения в общую формулу корней. Далее придадим параметру n последовательно значения 0,1,2,…,-1,-2,… и подставим эти значения в общую формулу корней.

Если n=0, то x=(-1) 0 π/12+0=π/12, π/12 [0; π]. Если n=1, то x=(-1) 1 π/12+π/2 =-π/12+π/2=5π/12, 5π/12 [0; π]. Если n=2, то x=(-1) 2 π/12+π=π/12+π=13π/12, 13π/12 [0; π]. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения x, которые получаются из общей формулы при n=3,4,….

Пусть теперь n= -1, тогда x=(-1) -1 π/12-π/2= -π/12-π/2= - 7π/12. Это число не принадлежит заданному отрезку [0; π]. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения x, которые получаются из общей формулы при n= -2,-3,….

На рисунке представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений. -7π/12 π/12 5π/12 13π/12 0 π Итак, заданному отрезку [0; π] принадлежат те корни уравнения, которые получаются из общей формулы при следующих значениях параметра n: n=0, n=1. Эти корни таковы: π/12, 5π/12. Ответ: π/12; 5π/12.