И Н Д Е К С Ы

Название индекс происходит от латинского слова index – указатель, показатель. Индекс это относительный показатель, характеризующий изменение уровня простого или сложного явления во времени - индексы динамики, в пространстве - территориальные индексы, или по сравнению с любым эталоном (нормативом, планом, прогнозом) – нормативные индексы. Сложные явления - явления, состоящие из разнородных элементов, т.е. непосредственно несоизмеримых (несопоставимых) элементов. Простое явление – явление, состоящее из однородных элементов.

Пример сложного явления. Предприятие выпускает несколько видов продукции (разного качества): стиральные машины, пылесосы, микроволновые печи. Объемы производства в натуральном выражении по отдельным видам продукции непосредственно несопоставимы. Так, 50 тыс. стиральных машин это не одно и то же, что 50 тыс. пылесосов или 50 тыс. микроволновых печей. Здесь возникает проблема соизмерения разнородных элементов. В качестве соизмерителей для показателя физического (натурального) объема выпуска можно использовать цену, себестоимость, трудоемкость единицы продукции.

Также несоизмеримыми являются цены на разные виды продукции. Например, нельзя сравнивать или суммировать цену за кг яблок (50 руб.за кг), цену за кг картофеля (16 руб.за кг), цену за литр молока (25 руб.за литр). В качестве соизмерителя при сравнении цен используют физические объемы потребления (производства) в натуральных единицах (кг, литрах и т.п.).

Величина, изменение которой нас интересует, называется индексируемой величиной. Так в индексе цен индексируемой величиной является цена, в индексе физического объема индексируемой величиной является физический объем (объем в натуральном выражении).

Индекс строится как отношение. И в числителе и в знаменателе должна присутствовать индексируемая величина, только относящаяся к разным периодам времени (в индексе динамики) или к разным объектам (в территориальных индексах). Величина, находящаяся в числителе относится к текущему периоду (объекту) – это та величина, которая сравнивается. Величина, находящаяся в знаменателе относится к базисному периоду (объекту) – эта та величина, с которой происходит сравнение.

Таким образом, каждый индекс включает два вида данных: 1) Данные текущего уровня, относящиеся к текущему периоду (объекту), обозначаемые добавлением «1» к символу соответствующего показателя. Например р1 – цена текущего периода; q1 – физический объем текущего периода. 2) Данные базисного уровня, относящиеся к базисному (сравниваемому) периоду (объекту), обозначаемые добавлением «0» к символу соответствующего показателя. Например р0 – цена базисного периода; q0 – физический объем базисного периода.

В развитии индексной теории у нас в стране сложилось два направления: обобщающее (синтетическое) и аналитическое. Обобщающее направление трактует индекс как показатель среднего изменения уровня изучаемого явления. Так, индекс цен на продукцию равный 1,153 показывает, что цены на продукцию возросли в целом (в среднем) на 15,3% или в 1,153 раза.

В аналитической теории индексы – это показатели изменения уровня некоторого результативного показателя под влиянием изменения индексируемой величины. Индексируемая величина входит как фактор в более сложный (общий) показатель – результативный показатель. Таким образом, индекс цен на продукцию равный 1,153 показывает, что в связи с изменением цен (индексируемой величины) стоимость продукции (результативный показатель) увеличилась на 15,3%.

КЛАССИФИКАЦИЯ ИНДЕКСОВ 1. Выделяют индексы объемных и качественных показателей. Объемные индексы служат для измерения изменения объемных показателей (которые выражаются абсолютными величинами). Примером таких показателей могут служить объем выпуска продукции, численность работающих. Качественные индексы служат для измерения изменения качественных показателей (которые определяются в расчете на количественную единицу). Примером таких показателей могут служить: цена, себестоимость единицы продукции, трудоемкость единицы продукции, производительность труда и т.п.

2. Различают индивидуальные и сводные (общие) индексы. По степени охвата элементов явления (степени охвата единиц совокупности) индексы делят на индивидуальные и сводные (общие). Индивидуальные индексы измеряют изменение отдельных элементов явления (например, изменение объема выпуска телевизоров определенной марки, и т.д.).

Индивидуальные индексы обозначаются i и снабжаются подстрочным знаком индексируемого показателя: i qj - индивидуальный индекс физического объема j-ого вида продукции, i pj – индивидуальный индекс цен на j-ый вид продукции и т.д. Они рассчитываются как отношение двух индексируемых величин, относящихся к различным периодам времени или объектам: Например: индивидуальный индекс цен, где p1 j,p0 j - цены единицы j=ого вида продукции в текущем (отчетном) и базисном периодах.

Сводный (общий) индекс – отражает изменение всех элементов явления. Например, изменение физического объема всей продукции предприятия, (предприятие выпускает разные виды продукции); изменение цены по рынку в целом (на рынке торгуют разными товарами) и т.д. Если индексы охватывают не все элементы явления, а лишь часть, то их называют групповыми или субиндексами (например, индексы продукции по отдельным отраслям промышленности).

Сводный индекс обозначается буквой I и также сопровождается подстрочным знаком индексируемого показателя: например, I p - сводный индекс цен; I z - сводный индекс себестоимости. Методика расчета сводных (общих) индексов сложнее, чем индивидуальных. Сводные (общие) индексы могут быть построены двумя способами: - как агрегатные; - как средние из индивидуальных индексов.

Агрегатные индексы – основная форма индексов. «Агрегатным» индекс называется потому, что его числитель и знаменатель представляют собой набор – «агрегат» элементов, относящихся к изучаемому явлению. Агрегатный индекс строится как отношение сумм произведений двух величин: 1) индексируемой величины - Х, которая в числителе относится к текущему уровню, а в знаменателе к базисному, 2) соизмерителя (веса индексирования) - f, который и в числителе и в знаменателе относится к одному уровню.

Х-индексируемая величина; Х1 – сравниваемое (текущее) значение индексир.величины; Х0 – базисное значение индексир.величины. f– вес индекса, играющий роль соизмерителя; j – номер элемента, (j=1;K). X j f j – результативный показатель для j–ого элемента.

Если в качестве весов брать значения признака-веса за базисный период времени (или относящиеся к базисному объекту), то формула агрегатного индекса примет вид: Ее еще называют агрегатной формой индекса Ласпейреса (по фамилии ученого Э.Ласпейреса, предложившего ее впервые в 1864 г.).

Ее еще называют агрегатной формой индекса Пааше (по фамилии ученого Г.Пааше, предложившего ее впервые в в 1874 г.). Если в качестве весов брать значения признака-веса за текущий период времени (или относящиеся к текущему объекту), то формула агрегатного индекса примет вид:

В качестве соизмерителя (веса) индекса при построении индекса объемного показателя выступает качественный показатель. При построении агрегатного индекса физического объема – q весом индексирования может быть: p - цена, либо z-себестоимость, либо t- трудоемкость единицы продукции. Эти «соизмерители» дадут, соответственно, результативные показатели: стоимость - pq, общие затраты на производство в денежных единицах – zq, трудозатраты – tq.

В качестве соизмерителя(веса) индекса при построении индекса качественного показателя выступает объемный показатель. При построении агрегатного индекса цены за единицу продукции – p весом индексирования будет физический объем выпуска - q. Результативный показателем при этом будет общая стоимость произведенной продукции: pq.

Сводные индексы результативных показателей представляют собой отношение суммы результативных показателей текущего периода (объекта) к сумме результативных показателей базисного периода (объекта). Суммирование ведется по элементам сложного явления.

Например, отношение стоимости продукции текущего периода s1=q1·p1 к стоимости продукции базисного периода s0=q0·p0 представляет собой сводный индекс стоимости продукции или товарооборота:

Пример: Имеются данные о фактическом выпуске продукции машиностроительным предприятием за два года: Виды прод укци и Выпуск продукции в натуральном выражении Цена производителя за единицу, млн.руб. Базисный период q0 Отчетный период q1 Базисный период p0 Отчетный период p Задание: Рассчитать сводные и индивидуальные индексы. Сделать выводы.

Расчет индивидуальных индексов смотри в таблице (столбцы 6,7, 8). Вид ы про дукц ии Выпуск продукции в натуральном выражении Цена производителя за единицу, млн.руб. Индивиду альные индексы физическо го объема продукции : i q =q1/q0 Индиви дуальны е индексы цен: i p =p1/p0 Индиви дуальны й индекс стоимос ти: i pq = p1·q1 / p0·q0 Базисн ый период q0 Отчетны й период q1 Базисны й период p0 Отчетн ый период p ,51,1(6)1, ,40,8751, ,(3)1

Общие (сводные) индексы физического объема: - Ласпейреса: - Пааше : Вывод: в целом по предприятию или в среднем по трем видам продукции наблюдается рост физического объема выпуска за рассматриваемый период на 39%.

Общие (сводные) индексы цены: - Ласпейреса : - Пааше : Вывод: в целом по предприятию или в среднем по трем видам продукции наблюдается снижение цен за рассматриваемый период на 3,5 -3,7%.

Общий индекс стоимости: В целом по трем видам продукции за рассматриваемый период стоимость возросла на 34%.

2 –ой способ построения сводных индексов. Средние (арифметические и гармонические) индексы на основе индивидуальных индексов. Сводный индекс может быть построен как среднее арифметическое взвешенное или гармоническое взвешенное из индивидуальных индексов. Весами усреднения выступают в данном случае результативные показатели - j =x j ·f j ( либо базисного уровня - 0 j =x0 j ·f0 j, либо текущего уровня - 1 j =x1 j ·f1 j )

При этом значение сводного индекса, построенного как среднее из индивидуальных, должно совпадать со значением агрегатного индекса (Ласпейреса или Пааше). Вид степенной средней зависит от имеющейся в нашем распоряжении информации.

1 случай. Если имеются данные об индивидуальных индексах (i xj ) и о значении результативного показателя за базисный период времени - ( 0 j =x0 j ·f0 j ), то используют формулу средней арифметической взвешенной с весами равными результативному показателю базисного периода. Данный индекс тождественен агрегатной форме индекса Ласпейреса:

2 случай. Если имеются данные об индивидуальных индексах (i xj ) и о значении результативного показателя за текущий период времени - ( 1 j =x1 j ·f1 j ), то используют формулу средней гармонической взвешенной с весами равными результативному показателю текущего периода. Данный индекс тождественен агрегатной форме индекса Пааше:

В качестве весов могут приниматься не только абсолютные значения результативного показателя, но и относительные величины - доли результативного показателя отдельной единицы (элемента) в общем объеме результативного показателя по совокупности (явлению) в целом. доля в базисном периоде доля в текущем периоде

Пример: рассчитаем сводные индексы физического объема и цены по данным таблицы, приведенной выше, как средние из индивидуальных.

Значения агрегатных индексов, рассчитанные по формулам Ласпейреса и Пааше, редко совпадают. Для получения обобщенного показателя агрегатного индекса, дающего однозначное решение возможно: 1) построить общий индекс на средних весах (индекс Эджворта-Маршалла): 2) построить общий индекс как среднее геометрическое из индексов Ласпейреса и Пааше: Этот способ предложил Фишер и назвал данную формулу «идеальным индексом».

3) выбрать (предпочти) какой-то один вариант построения взаимосвязанных индексов. Последний метод был избран отечественной статистикой, в которой изменение объемных показателей измеряется по формуле Ласпейреса, а изменение качественных показателей – по формуле Пааше.

Индексный метод анализа факторов в изменении сложного явления. Некоторые социально-экономические показатели находятся между собой в определенной (функциональной) связи, например, в виде произведения (либо отношения). В таком же соотношении должны находиться и индексы, характеризующие изменение исходных социально-экономических показателей. Если z=x·y, то I z =I x ·I y. Например, стоимость = цена физический объем трудозатраты = трудоемкость ед.продукции физический объем

Данное соотношение между индексами осуществимо, если веса индексирования для I x и I y берутся за разные периоды времени (или относятся к разным объектам), т.е. один из индексов должен быть построен по формуле Ласпейреса, а другой - по формуле Пааше: I z = I x · I y

Например, общая стоимость продукции равна произведению цены за единицу продукции на физический объем выпуска: S=p·q. Тогда сводный индекс стоимости должен быть равен произведению сводного индекса цен на сводный индекс физического объема. Чтобы выполнялось данное условие необходимо, чтобы веса при построении индексов цен и физического объема относились к разным уровням. Обычно индекс цен вычисляется по формуле Пааше, а индекс физического объема по формуле Ласпейреса.

Индексный метод позволяет также представить абсолютное изменение результативного показателя ( z ), как результат влияния различных факторов (входящих в формулу его расчета). Общее абсолютное изменение результативного показателя определяется как разность между числителем (текущим уровнем) и знаменателем (базисным уровнем) в формуле сводного индекса данного результативного показателя:

Общее абсолютное изменение может быть разложено на составляющие - абсолютные изменения за счет отдельных факторов, входящих в его расчетную формулу ( z x, z y ): z = z x + z y. I x I y

Например, абсолютное изменение стоимости продукции может быть представлено как: И разложено на составляющие: - абсолютное изменение стоимости за счет изменения цен: - абсолютное изменение стоимости за счет изменения количества выпускаемой продукции: Общее абсолютное изменение стоимости продукции равно алгебраической сумме изменений за счет каждого из факторов: s= p s+ q s.

Индексы среднего уровня: переменного состава, постоянного (фиксированного) состава и структурного сдвига. Индексы позволяют анализировать изменения не только агрегатов, но и их средних величин с помощью индексов переменного и постоянного состава и структурного сдвига. В отличие от агрегатных данные индексы рассчитываются по качественно однородным совокупностям, состоящим из сопоставимых элементов.

Если индексируемую величину обозначить через х, а веса усреднения через f, то индекс средней величины или переменного состава (I пс ) можно записать так:

Изменение средней величины показателя х с течением времени происходит по двум причинам: а) за счет изменения со временем величины самого усредняемого показателя х; б) за счет изменения со временем весов усреднения f (т.е. за счет изменения состава (структуры) совокупности). В связи с этим данное отношение средних величин называют индексом переменного состава.

Если при расчете средних величин использовать одни и те же веса (например, f1), то при сравнении таких средних влияние изменения структурного фактора будет устранено, и этот индекс называют индексом фиксированного (постоянного) состава – I фс. Он тождественен агрегатному индексу Пааше величины х. Индекс постоянного состава характеризует изменение средней величины только за счет изменения усредняемого признака Х при постоянстве структуры совокупности.

Если при сравнении средних показателей принять неизменными значения х, тогда на изменение средних будет оказывать влияние только изменение весов (f), т.е. структуры совокупности. Этот индекс условно называют индексом структуры (или индексом структурного сдвига): Индекс структуры показывает, в какой степени изменение средней величины произошло за счет изменения структуры (состава) совокупности. Индексы средней величины связаны между собой соотношением: I пс =I фс · I стр.

Пример. Пусть в отрасли существуют всего 2 предприятия выпускающие однородную продукцию. Одно предприятие выпускает дорогую продукцию, другое – дешевую. Данные об объемах реализации и цене продукции 2-мя предприятиями представлены в таблице: Предпри ятие Базисный периодТекущий период Объем реализации - q0, тыс.шт. (доля в общем объеме реализации, %) Цена – p0, руб./ шт. Объем реализации - q1, тыс.шт. (доля в общем объеме реализации, %) Цена – p1, руб./ шт. 1-е предпр иятие 100 (66,7%)565 (46%)10 2-е предпр иятие 50 (33,3%)1075 (54%)15 Итого150 (100%)140 (100%)

Требуется рассчитать индекс средней цены по отрасли в целом, проанализировать изменение средней цены с помощью индексов постоянного состава и структурного сдвига. РЕШЕНИЕ: Начнем расчет с индекса переменного состава (средней цены): То есть средняя цена продукции отрасли за рассматриваемый период возросла на 90%. Проанализируем изменение средней цены. Рассчитаем индекс фиксированного (постоянного) состава:

За счет изменения самой цены (при неизменном объеме реализации) ее средняя величина за рассматриваемый период возросло бы на 65%. Рассчитаем индекс структурного сдвига: За счет изменений происшедших в структуре объема реализации (а, именно за счет сокращения доли дешевой продукции с 66,7 до 46%) за рассматриваемый период средняя цена возросла на 15,2%. Выполним проверку: I пс =I фс ·I стр =1,651,152=1,9

Ряды индексов с постоянной и переменной базой. Цепные и базисные индексы. Часто в ходе экономического анализа изменение индексируемых величин изучают не за два периода, а за ряд последовательных периодов; или не для двух объектов, а для нескольких объектов, объединенных в одну систему. При этом строится ряд индексов, в котором индексы упорядочены по времени, либо по объектам (территориям).

Ряды индексов делятся на ряды с постоянной и переменной базой сравнения. В рядах с постоянной базой сравнения значения индексов определяется отношением значений индексируемого показателя к одной и той же (постоянной) базе сравнения. В рядах с переменной базой сравнения значения индексов определяются отношением значений индексируемого показателя к разным базам сравнения (например, к предыдущему уровню ряда).

Ряды индексов, упорядоченные по времени, подразделяются на базисные (с постоянной базой) и цепные (с переменной базой). В ряде из цепных индексов сравнение уровней индексируемого показателя в каждом индексе производят с уровнем предыдущего периода. А в ряде из базисных индексов уровни индексируемого показателя сопоставляются с уровнем одной и той же базой (одним и тем же базисным уровнем). Цепные и базисные индексы могут быть как индивидуальные, так и общие.

Ряды индивидуальных индексов просты по построению. Так, например, за 4 последовательных периода (t0, t1, t2,t3) построим ряд базисных и ряд цепных индексов цен: периодt1t2t3 Базисные индексы i p1/0 =p1/p0i p2/0 =p2/p0i p3/0 =p3/p0 Цепные индексы i p1/0 =p1/p0i p2/1 =p2/p1i p3/2 =p3/p2

Между цепными и базисными индивидуальными индексами существует взаимосвязь. Произведение последовательных цепных индивидуальных индексов дает базисный индекс последнего периода: i p3/0 = i p1/0 ·i p2/1 ·i p3/2. Путем деления базисного индекса отчетного периода к базисному индексу предшествующего периода получим цепной индекс отчетного периода: i p3/2 = i p3/0 / i p2/0. Это правило позволяет применять так называемый цепной метод, т.е. находить неизвестный ряд базисных индексов по известным цепным и наоборот.

При построении ряда из сводных агрегатных индексов, веса индексирования для построения общих индексов могут браться либо постоянными, либо переменными. Постоянные веса позволяют исключить влияние изменения структуры на значение индекса. Ряд сводных индексов физического объема с постоянными весами. Период t1 t2 t3 Цепные индексы Базисные индексы

Ряды с постоянными весами имеют преимущество – сохраняется взаимосвязь между цепными и базисными индексами. Так произведение последовательных цепных сводных индексов физического объема дает базисный сводный индекс физического объема последнего периода: То же самое справедливо для ряда сводных индексов цен Ласпейреса. Таким образом, использование постоянных весов в течение ряда лет позволяет переходить от цепных индексов к базисным и наоборот.

Ряд сводных индексов цен с переменными весами. период t1 t2 t3 Базисные индексы Цепные индексы

В рядах агрегатных индексов, которые строятся с переменными весами (например, ряд индексов цен Пааше), перемножение цепных индексов не дает базисный: Для таких индексов переход от цепных индексов к базисным и наоборот невозможен. Когда возникает необходимость определения динамики цен за длительный период времени на основе цепных цен с переменными весами для получения приближенного базисного (итогового) индекса цепные индексы цен перемножают, заведомо зная, что в таком расчете допускается ошибка.

Пример: Предприятие выпускает 3 вида разнородной продукции. Данные о деятельности предприятия приведены в таблице. Вид прод укци и Изменение объема производства во 2-ом квартале по сравнению с 1-ым, % Удельный вес трудозатрат на производство в 1- ом квартале, % А-825 Б-1415 В+660 Определить: 1) общий индекс физического объема производства по предприятию в целом; 2) абсолютное сокращение (рост) затрат труда вследствие изменения объема выпуска продукции, если на выпуск продукции «А» было затрачено в 1-ом квартале 450 чел.-часов рабочего времени.

РЕШЕНИЕ. 1. Исходные данные представляют собой совокупность 3-х продуктов, выпускаемых предприятием, каждое из которых характеризуется: - индивидуальным индексом физического объема - i q (0,92 (-8%), 0,86 (-14%), 1,06 (+6%)), - удельный вес трудозатрат в базисном периоде – q0t0 (25%, 15%, 60%). Общий индекс физического объема при таких данных можно рассчитать только как среднее из индивидуальных индексов: Вывод: в целом по трем видам продукции физический объем снизился на 1,5%.

2. Рассчитаем абсолютное изменение трудозатрат вследствие изменения физического объема. Для этого можно воспользоваться формулой: tq q = = (0,985-1) (450/0,25)= -0, = -27 чел.-час. Вывод: вследствие изменения объема выпуска продукции, затраты труда сократились на 27 чел.- час. Вывод: вследствие изменения объема выпуска продукции, затраты труда сократились на 27 чел.- час.