ВОЛШЕБНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Привести достаточное количество примеров свойств чисел треугольника Паскаля и примеров применения треугольника для доказательства гипотезы. ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.Выявить свойства чисел, входящих в состав треугольника Паскаля 2. Определить применение свойств чисел треугольника Паскаля 3. Сформулировать вывод и итоги исследования ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

ГИПОТЕЗА Если числа треугольника Паскаля обладают особыми свойствами, то его можно считать волшебным.

ХОД ИССЛЕДОВАНИЯ ЭТАП 1 Собрать первоначальные сведения о треугольнике в энциклопедической и учебно-научной литературе. Выяснить, что высказывали о треугольнике Паскаля ученые или математики.

Мартин Гарднер "Математические новеллы" 1974 "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ это бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЮНОГО МАТЕМАТИКА

ХОД ИССЛЕДОВАНИЯ ЭТАП 2 Выявить самые «Волшебные» свойства чисел треугольника Выяснить, какими еще свойствами обладает треугольник Паскаля

Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно. САМЫЕ ВОЛШЕБНЫЕ СВОЙСТВА

Свойство 1: Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего вплоть до стоящего непосредственно левее числа А. ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЮНОГО МАТЕМАТИКА Свойство 2: Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальными и горизонтальными рядами, на пересечении которых стоит число А (сами эти ряды в рассматриваемый прямоугольник не включаются).

Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль прямых, параллельных сторонам треугольника (на рисунке зелеными линиями отмечены зелеными линиями) треугольные выстроены треугольные числа числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей. СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА

Треугольные числа показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника Классический пример Классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА

зеленая Следующая зеленая линия линия покажет нам тетраэдральные тетраэдральные числа - один шар мы можем положить на три – итого четыре, под три подложим шесть -итого десять, и так далее. СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА

зеленая Следующая зеленая линия линия продемонстрирует попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве - один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти... СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА

Хотя… Попробуйте с вишнями или яблоками одинакового размера, только не пытайтесь выйти с ними в четвертое измерение, они могут В нашем мире такое невозможно, только в четырехмерном, виртуальном. И тем более пятимерный тетраэдр, о котором свидетельствует следующая зеленая линия, он может существовать только в рассуждениях топологов… или фантастов. ЗАМЕЧАНИЕ АВТОРА исчезнуть исчезнуть.

Это тоже треугольные числа, но одномерные, показывающие, сколько шаров можно выложить вдоль линии - сколько есть, столько и выложите. Если уж идти до конца, то самый верхний ряд из единиц - это тоже треугольные числа в нульмерном пространстве - сколько бы шаров мы не взяли - больше одного расположить не сможем, ибо просто негде - нет ни длины, ни ширины, ни высоты. НАВЕРНОЕ ВЫ ХОТИТЕ СПРОСИТЬ… А о чем же говорит нам самая верхняя зеленая линия, на которой расположились числа натурального ряда?

Заменим каждое число в треугольнике Паскаля точкой. Причем, нечетные точки выведем контрастным цветом, а четные - прозрачным, или цветом фона. Результат окажется непредсказуемо- удивительным: треугольник Паскаля разобьется на более мелкие треугольники, образующие изящный узор. Удивительное свойство треугольника Паскаля

ХОД ИССЛЕДОВАНИЯ ЭТАП 3 Изучить возможности применения треугольника Паскаля Продемонстрировать примеры

ПРИМЕНЕНИЕ Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 9. "Спустившись" по диагонали До числа 9, мы увидим слева 45 снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму.

ПРИМЕНЕНИЕ Биномиальные коэффициенты есть коэффициэнты разложения многочлена по степеням x и y

Предположим, что некий шейх, следуя законам гостеприимства, решает отдать вам трех из семи своих жен. Сколько различных выборов вы можете сделать среди прекрасных обитательниц гарема? Для ответа на этот волнующий вопрос необходимо лишь найти число, стоящее на пересечении диагонали 3 и строки 7: оно оказывается равным 35.ПРИМЕНЕНИЕ Если, охваченные радостным волнением, вы перепутаете номера диагонали и строки и будете искать число, стоящее на пересечении диагонали 7 со строкой 3, то обнаружите, что они не пересекаются. То есть сам метод не дает вам ошибиться!

Треугольник Паскаля используется для решения различных задач в области математики и физики 1.Принцип минимума потенциальной энергии. 2.Материальные точки и центр тяжести. 3.Центр тяжести системы двух материальных точек. 4. Центр тяжести стержня с многими грузами. 5. Невозможность вечного двигателя.

Треугольник Паскаля может стать основой для создания компьютерных программ. Есть в форме треугольника что-то тайное, глубоко символическое. Недаром треугольная форма была выбрана древними египтянами в качестве символа вечности и воплощена в пирамидах. Ту же форму имеет и загадочный масонский символ, изображенный Николаем Рерихом на обратной стороне однодолларовой купюры (это та самая пирамида с тринадцатью ступенями и всевидящим оком на вершине2). В математике такой глубоко символичной пирамидой является знаменитый треугольник Паскаля. Треугольник Паскаля обладает целым рядом замечательных свойств. О нем написано множество статей и книг. С появлением вычислительных машин построение треугольника Паскаля стало излюбленной задачкой для начинающих при изучении основ программирования. Элементами этой арифметической структуры являются так называемые биномиальные коэффициенты. Комбинаторный смысл биномиальных коэффициентов состоит в том, что они представляют собой количества различных k-членных комбинаций из n-элементного множества без повторений.

То есть треугольник Паскаля состоит из чисел, каждое из которых есть количество способов выбрать k шариков из мешка, в котором таких шариков n штук (k < или = n). При этом в треугольнике n - это номер строки, а k - номер элемента в строке (и в том, и в другом случае нумерация начинается с нуля). Есть формула, которая позволяет вычислить любой биномиальный коэффициент непосредственно, зная k и n. Но в этой прямой формуле присутствуют факториалы, которые очень быстро переполняют объемы ячеек вычислительной машины с ростом значений k и n. Поэтому для построения треугольника Паскаля воспользуемся одним замечательным его свойством, состоящим в том, что любой из элементов представляет собой сумму двух его верхних соседей. В этом случае умножение заменяется простым сложением. Строго говоря, таким способом нельзя вычислить крайние единички, поскольку над ними нет двух соседей, но при написании программы можно зарезервировать в массиве виртуальные нули и тем самым сохранить универсальность общего правила.

ХОД ИССЛЕДОВАНИЯ ЭТАП 4 Формулируем итоги и выводы

Вот далеко не полный перечень свойств чисел треугольника Паскаля и его многочисленных применений. НО… ИТАК

Числа, входящие в треугольник Паскаля обладают большим количеством свойств. Треугольник Паскаля может стать основой для создания компьютерных программ. Тема подразумевает дополнение и развитие во многих направлениях. ВЫВОДЫ

ОБЛАДАЯ ТАКИМИ СВОЙСТВАМИ, ТРЕУГОЛЬНИК МОЖЕТ НАЗЫВАТЬСЯ ВОЛШЕБНЫМ ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ГИПОТЕЗЫ