Векторная алгебра Основные понятия

Математическая величина Скалярная величина (характеризуется численным значением) Векторная величина (Характеризуется численным значением и направлением)

Основные понятия Определение 1. Вектором называется отрезок, имеющий определенную длину и направление. Определение 2. Модулем вектора (длиной вектора) называется длина отрезка : А В Обозначения:

Основные понятия - вектор, у которого начало и конец совпадают. Определение 3. Коллинеарными называются векторы, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Определение 4. Углом между векторами называется наименьший угол, на который надо повернуть один из векторов, чтобы их направления совпали. Обозначение:

Основные понятия Определение 5. Два вектора называются равными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следствие. При параллельном переносе получаются равные векторы.

Основные понятия Определение 6. Два вектора называются противоположными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и противоположное направление. Определение 7. Компланарными называются векторы, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Замечание. Два вектора всегда компланарны.

Операции с векторами Сумма векторов. Определение 1 (правило треугольника). Пусть начало второго вектора совпадает с концом первого. Тогда вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов.

Операции с векторами Сумма векторов. Определение 2 (правило параллелограмма). Пусть начала первого и второго векторов совпадают. Построим на этих векторах параллелограмм. Тогда вектор, совпадающий с диагональю, проходящей через общее начало, называется суммой этих векторов.

Операции с векторами Разность векторов. Определение 1. Разностью векторов называется такой вектор,что сумма Определение 2. Пусть начала первого и второго векторов совпадают. Тогда разностью векторов называется вектор, соединяющий их концы и направленный из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

Операции с векторами Произведение вектора на число. Определение. Произведением вектора на число называется вектор, коллинеарный вектору, равный по модулю, направленный при в ту же сторону, что и, и в противоположную сторону, если.

Операции с векторами Пример. Задан вектор. Построить векторы Построение : Теорема. Пусть. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда найдется такая постоянная, что

Основные свойства операций Самостоятельно доказать каждое свойство..

Разложение векторов Теорема 1. Пусть векторы и - неколлинеарные, векторы - компланарные. Тогда найдутся такие постоянные и, что Такое разложение единственное. Доказательство.

Разложение векторов Единственность. Предположим : Пусть (хотя бы одно из неравенств и выполнено) (противоречие)

Разложение векторов Теорема 2. Пусть векторы - некомпланарные. Тогда найдутся такие постоянные, что любой вектор можно записать в виде (разложить по векторам ). Такое разложение единственное. Д.з. Самостоятельно построить чертеж и получить разложение

Разложение векторов Разложение векторов по ортам. Определение 1. Ортом вектора называется вектор, имеющий единичную длину и то же направление, что и вектор.

Разложение векторов Рассмотрим прямоугольную систему координат. Теорема 3. В пространстве любой вектор можно разложить по ортонормированному базису : Такое разложение единственное. x y z 0 Векторы -единичные (орты), направленные по осям x, y, z ( соответственно ) Определение 2. Тройка векторов называется ортонормированным базисом в пространстве.

Разложение векторов Определение 3. Коэффициенты x, y, z разложения называются прямоугольными координатами вектора : Частный случай. Если вектор расположен на координатной плоскости хоу, то разложение будет иметь вид Коэффициенты х, у называются прямоугольными координатами вектора на плоскости :

Проекции вектора Рассмотрим вектор и ось Определение. Проекцией вектора на ось называется разность проекций конца и начала вектора на эту ось; 0

Проекции вектора Свойства проекций Связь координат вектора и проекций на оси. Пусть вектор на плоскости имеет разложение: х у 0

Проекции вектора В пространстве: Следствие. Если вектор задан двумя точками, - начало, - конец, то

Действия с векторами в координатной форме Сумма и разность векторов, произведение вектора на число. Пусть Тогда Модуль вектора Орт вектора

Действия с векторами в координатной форме Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов, заданных в координатной форме. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда соответствующие координаты пропорциональны. Пусть Тогда Доказательство.

Доказательство Рассмотрим три вектора :