Сорокин Евгений Александрович Красноярский государственный университет Аннотация: В данной работе предлагается механизм, позволяющий построить систему предпочтений индивидуума и определить его функцию полезности, опираясь на сравнение индивидуумом лишь некоторых пар доступных ему вариантов, а также на ряд свойств, характеризующих индивидуума. Ключевые слова: предпочтения, функция полезности, ожидаемая полезность.

Пространство вариантов Рассматривая индивидуума, будем считать, что индивидуум имеет систему предпочтений на пространстве вероятностных распределений (вариантов) То есть P1P1 P2P2 P3P3 Крайние варианты: P 1, P 2, P 3 Произвольный вариант: P = P 1 + (1 – )P * P * = P 2 + (1 – )P 3 (0, 1); (0, 1) P*P* P

Функция полезности Ожидаемая полезность Функция полезности Ожидаемая полезность Утверждение 1. Если выполнена система аксиом фон Неймана – Моргенштерна [1], то можно ввести вещественнозначную функцию U называемую функцией полезности. Причем такую, что для произвольных вариантов P 1, P 2 соотношение P 1 P 2 эквивалентно где C 1, C 2 – случайные элементы с распределениями P 1, P 2, соответственно. Более того, функция U единственна с точностью до положительного аффинного преобразования. Утверждение 2. Утверждение 1 позволяет в качестве средства для сравнения распределений по предпочтительности использовать их ожидаемую полезность где C – случайный элемент с распределением P. EU(C 1 ) > EU(C 2 ) u(P) = EU(C)

Метод построения системы предпочтений Рассмотрим бесконечномерный симплекс, с крайними вариантами P, где [0, 1]. Пусть, для определённости, индивидуум считает более предпочтительными крайние варианты с большими. То есть: 1, 2 [0, 1] : 1 < 2 u(P 1 ) < u(P 1 ) u(P 0 ) = min u(P) = 0 P u(P 1 ) = max u(P) = 1 P

Квадратичный класс функций полезности U( ) = a a 1 + a 0 U( ) = a (1 a 2 ) = max ( max U( ) max U( ) ) a 2 a = 0.5 P P 0 + (1 )P 1, где (0, 1), (0, 1) a 2 [ 1, 1]

Два способа генерирования вопросов: 1) выбор Два способа генерирования вопросов: 1) выбор U( ) = a (1 a 2 ) < U(0.5) < 0.75 ½ P 0 + ½ P 1 P 0.5 ¼ P 0 + ¾ P 1 P 0.5 ? P 0 + P 1

Два способа генерирования вопросов: 2) выбор Два способа генерирования вопросов: 2) выбор U( ) = a (1 a 2 ) 0.5 = P ? ½ P 0 + ½ P 1 ½ P 0 + ½ P

Реализация алгоритма Вопрос 1

Сужение множества возможных функций полезности Вопрос 2-а

Изменение формулировки вопросов Вопрос 2-б

Уточнение множества возможных функций полезности Вопрос 3-б

Конец