Тема 4: Факторные модели 1. Понятие факторной модели 2. Однофакторные модели 3. Многофакторные модели 4. Оценки факторных моделей Темы для самостоятельного изучения: 1. Многофакторная модель BARRA для ценных бумаг США 2. Факторные модели и равновесие

1 вопрос: Понятие факторной модели В факторных моделях предполагается, что доходность ценной бумаги реагирует на изменения различных факторов. В случае рыночной модели предполагается, что имеется только один фактор - доходность рыночного индекса. Однако для попыток точно оценить ожидаемые доходности ценных бумаг многофакторные модели потенциально более полезны, чем рыночная модель. Это объясняется тем, что фактические (действительные) доходности по ценным бумагам оказываются чувствительными не только к изменению рыночного индекса, и в экономике, вероятно, существует более одного фактора, влияющего на доходность ценных бумаг.

Факторная модель представляет собой попытку учесть основные экономические силы, систематически воздействующие на курсовую стоимость всех ценных бумаг. При построении факторной модели неявно предполагается, что доходности по двум ценным бумагам коррелированы (т.е. изменяются согласованно) только за счет общей реакции на один или более факторов, определенных в этой модели. Считается, что любой аспект доходности ценной бумаги, не объясненный факторной моделью, является уникальным или специфическим для данной ценной бумаги и, следовательно, не коррелирован с уникальными аспектами доходностей других ценных бумаг. В результате факторная модель является мощным средством управления портфелем инвестиций. Она может дать необходимую информацию для вычисления ожидаемых доходностей, дисперсий и ковариаций для каждой ценной бумаги. Она также может быть использована для характеристики чувствительности портфеля к изменениям факторов.

На практике все инвесторы явно или неявно применяют факторные модели. Это связано с тем, что невозможно рассматривать взаимосвязь каждой ценной бумаги с каждой другой по отдельности. Поэтому факторные модели дают необходимый уровень абстрактности. Они предлагают инвестиционным менеджерам метод, позволяющий выделить в экономике важные факторы и оценить, насколько различные ценные бумаги и портфели инвестиций чувствительны к изменениям этих факторов. Если принять, что доходности ценных бумаг подвержены влиянию одного или более факторов, то первоначальной целью анализа ценных бумаг является определение этих факторов и чувствительности доходностей ценных бумаг к их изменению. Формальное утверждение о существовании такой связи называется факторной моделью доходности ценных бумаг. Простейшая форма такой модели однофакторная модель.

2 вопрос: Однофакторные модели Некоторые инвесторы утверждают, что процесс формирования дохода по ценным бумагам описывается одним единственным фактором. Например, они могут считать, что доходности ценных бумаг реагируют на предсказанный темп роста валового внутреннего продукта (ВВП). Горизонтальная ось на рис.1 соответствует предсказанному темпу прироста ВВП, а вертикальная ось доходности акций компании А. Каждая звездочка на графике представляет собой комбинацию доходности акций А и темпа прироста ВВП. В данном случае с помощью метода парной регрессии данные были аппроксимированы прямой линией. Эта прямая имеет положительный наклон, что указывает на существование положительной связи между скоростью прироста ВВП и доходностью по акциям компании А. Более высокие темпы прироста ВВП соответствуют более высоким доходностям.

Рис.1. Однофакторная модель

Связь между предсказанным темпом прироста ВВП и доходностью акций компании А может быть выражена в виде уравнения: где - доходность акции за период t - ордината точки пересечения прямой с вертикальной осью (нулевой фактор для ВВП) b- величина наклона прямой, коэффициент регрессии (чувствительность к предсказанному темпу прироста ВВП) ВВП t -предсказанный темп прироста ВВП за период t e t - величина случайной ошибки (уникальная или специфическая доходность за период t)

На рис. 1 нулевой фактор равен 4% за период. Это доходность, которая ожидалась бы для акций A, если бы предсказанный темп прироста ВВП равнялся нулю. Чувствительность акций A к предсказанному темпу прироста ВВП равна двум, поэтому более высокий предсказанный прирост ВВП ассоциируется с более высокой доходностью акций А. Например, если предсказанный прирост ВВП равен 5%, то акции дадут доходность в 14% (4%+2*5%). Для любой точки на графике можно определить уникальную доходность акций, путём вычитания ожидаемой доходности, соответствующей предсказанному приросту ВВП, и фактической доходности. В итоге однофакторная модель отражает доходность акций за любой конкретный период в виде суммы трех элементов: 1. Элемент, одинаковый для всех периодов (параметр а). 2. Элемент, который меняется от периода к периоду и зависит от предсказанного темпа прироста ВВП (произведение параметра b и ВВП). 3. Элемент, специфический для конкретного рассматриваемого периода (параметр е)

3 вопрос: Многофакторные модели Состояние экономики затрагивает большинство фирм. Поэтому можно полагать, что изменения в ожиданиях относительно будущего состояния экономики имеют очень большое влияние на доходности большинства ценных бумаг. Однако экономика не является чем-то простым и монолитным. Можно выделить несколько факторов, оказывающих влияние на все сферы экономики. 1. Темпы прироста валового внутреннего продукта. 2. Уровень процентных ставок. 3. Уровень инфляции. 4. Уровень цен на нефть.

В отличие от однофакторных моделей многофакторная модель доходности ценных бумаг, учитывающая эти различные воздействия, может быть более точной. В качестве примера рассмотрим модель, в которой предполагается, что процесс формирования дохода включает два фактора. В виде уравнения двухфакторная модель для периода t записывается так: где F 1 и F 2 два фактора, оказывающих влияние на доходы по всем ценным бумагам, b 1 и b 2 - чувствительности ценной бумаги i к этим двум факторам, е t - случайная ошибка, a - ожидаемая доходность ценной бумаги при условии, что каждый фактор имеет нулевое значение.

Рис. 2. Двухфакторная модель

Рисунок 2 иллюстрирует случай акций компании A, на доходность которых влияют ожидания, как темпов прироста ВВП, так и уровня инфляции. Как и в однофакторном случае, каждая точка на рисунке соответствует определенному году. Однако, на этот раз каждая точка определяется комбинацией доходности, уровня инфляции и темпов прироста ВВП в этом году. Россыпь точек совпадает с двухмерной плоскостью, полученной с помощью статистического метода множественной регрессии. Наклон плоскости в направлении темпа прироста ВВП (b 1 ) представляет чувствительность акций A к изменениям темпа прироста ВВП. Наклон плоскости в направлении уровня инфляции (b 2 ) представляет чувствительность этих акций к изменениям уровня инфляции.

Отметим, что в этом примере чувствительности и положительны, и отрицательны и имеют значения 2,2 и -0,7. Это указывает на то, что с увеличением предсказанного темпа прироста ВВП или уровня инфляции доход по акциям должен возрасти или уменьшиться соответственно. Смещение (нулевой фактор), равное 5,8%, дает ожидаемую доходность для случая, когда и прирост ВВП, и инфляция равны нулю. Наконец, для конкретного года расстояние от фактической точки до плоскости равно специфической доходности в этом году (е), т.е. той части доходности, которая не связана ни с приростом ВВП, ни с инфляцией. Например, если ВВП вырос на 2,9%, а инфляция составила 3,1%, то ожидаемая доходность акций равна 10% (5,8% + 2,2*2,9% - 0,7*3,1%). Следовательно, специфическая доходность этих акций равна +3% (13% - 10%). В рамках двухфакторной модели для каждой ценной бумаги нужно оценить четыре параметра: а, b1, b2, и стандартное отклонение случайной ошибки, обозначаемое как.

4 вопрос: Оценки факторных моделей Хотя для оценок факторных моделей используется много методов, все они могут быть отнесены к трем основным группам: 1. Методы временных рядов. 2. Методы пространственной выборки. 3. Методы факторного анализа. Методы временных рядов являются наиболее интуитивно понятными для инвесторов. Построение модели начинается с предположения о том, что инвестор заранее знает, какие факторы влияют на доходность ценных бумаг. Идентификация соответствующих факторов обычно происходит на основе экономического анализа фирм, включаемых в модель. При этом главную роль играют аспекты макроэкономики, микроэкономики и фундаментальный анализ ценных бумаг.

Например, некоторые макроэкономические переменные очень значительно влияют на доходность ценных бумаг. К ним относятся, в частности, ожидаемый темп прироста ВВП, инфляция, процентные ставки и цены на нефть. После выбора таких факторов следующий шаг при построении модели состоит в сборе информации об их значениях и доходности ценных бумаг от периода к периоду. Затем полученные данные используются для вычисления чувствительности доходностей к факторам, нулевых факторов и собственной доходности ценных бумаг, а также стандартных отклонений факторов и их корреляций. В этом подходе решающим моментом является точное измерение значений факторов. На практике это может оказаться довольно трудным.

Метод пространственной выборки менее распространен, чем метод временных рядов, но часто оказывается не менее мощным средством. Построение модели начинается с оценки чувствительности ценных бумаг к определенным факторам. Затем для некоторого периода времени оцениваются значения этих факторов на основе анализа доходностей ценных бумаг и их чувствительности к факторам. Этот процесс повторяется для большого числа временных интервалов, что позволяет дать оценки для стандартных отклонений факторов и их корреляций. Метод пространственной выборки совершенно отличен от метода временных рядов. В последнем методе известны значения факторов, а чувствительности к ним оцениваются. После чего анализ проводится для одной ценной бумаги на большом числе временных интервалов, затем для другой ценной бумаги и т.д. В методе пространственной выборки известны чувствительности, а оцениваются значения факторов. Анализ в этом методе проводится для одного временного интервала и группы ценных бумаг, затем для другого временного интервала и той же группы бумаг и т.д.

Факторный анализ. В рамках данного метода построения факторной модели неизвестны ни значения факторов, ни чувствительности ценных бумаг к этим факторам. Для определения числа факторов и чувствительностей к данным о доходностях ценных бумаг в прошлом просто применяется статистический метод, называемый факторным анализом. При использовании этого метода доходности некоторой выборки ценных бумаг рассматриваются за большое число временных периодов в целях установления одного или нескольких статистически значимых факторов, которые могли бы привести к ковариации доходностей, наблюдаемых в этой выборке. По сути дела, в этом подходе данные по доходности сами указывают на структуру факторной модели. К сожалению, факторный анализ не конкретизирует, какие экономические переменные представлены полученными факторами. К сожалению, факторная модель, которая была хороша для одного временного периода, не обязательно будет хорошей моделью и для последующих периодов, так как ключевые факторы часто меняются. Поэтому методы статистических оценок должны быть дополнены здравым смыслом для того, чтобы построенная модель учитывала динамическую природу инвестиционной среды.