Точки на прямой В качестве аксиомы взаимного расположения точек на прямой принимается следующее свойство. Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки, а точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки. Если точки A и B лежат по разные стороны от точки C, то говорят также, что точка C лежит между точками A и B.

Отрезок Отрезком называется часть прямой, состоящая из двух данных точек и всех точек, лежащих между ними. При этом сами данные точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов, например, отрезок с концами A и B обозначается AB.

Луч Лучом, или полупрямой, называется часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих от нее по одну сторону. При этом сама данная точка называется началом, или вершиной луча. Для обозначения лучей используются пары прописных латинских букв, например, AB, первая из которых обозначает начало луча, а вторая - какую-нибудь точку, принадлежащую лучу.

Равенство отрезков Одной из основных операций, которую можно производить с отрезками, является операция откладывания данного отрезка на данном луче от его вершины. Получающийся при этом отрезок называется равным исходному отрезку. В качестве аксиомы принимается следующее свойство. На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному. Равенство отрезков АВ и А 1 В 1 записывается в виде АВ = А 1 В 1. Оно означает, что если один из этих отрезков, например АВ, отложить на луче А 1 В 1 от точки А 1, то отрезок АВ при этом совместится с отрезком А 1 В 1. Если при откладывании отрезка АВ на луче А 1 В 1 от точки А 1 точка В переходит в точку B', лежащую между точками А 1 и В 1, то говорят, что отрезок АВ меньше отрезка А 1 В 1 и обозначают АВ AB.

Сложение отрезков Если на отрезке АВ между точками А и В взять какую-либо точку С, то образуется два новых отрезка АС и СВ. Отрезок АВ называется суммой отрезков АС и СВ и обозначается АВ = АС + СВ. Каждый из отрезков АС и СВ называется разностью отрезка АВ и другого отрезка, обозначается АС = АВ - СВ, СВ = АВ - АС. Аналогичным образом поступают для вычитания из большего отрезка меньшего. Чтобы сложить два произвольных отрезка АВ и CD, продолжим отрезок АВ за точку В и на этом продолжении отложим отрезок ВЕ, равный отрезку CD. Отрезок АЕ будет суммой отрезков АВ и CD, АЕ = АВ + CD.

Вопрос 1 Какое свойство принимается в качестве аксиомы взаимного расположения точек на прямой? Ответ: Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки, а точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки.

Вопрос 2 В каком случае говорят, что точка C лежит между точками A и B? Ответ: Точка C лежит между точками A и B, если точки A и B лежат по разные стороны от точки C.

Вопрос 3 Какая фигура называется отрезком? Ответ: Отрезком называется часть прямой, состоящая из двух данных точек и всех точек, лежащих между ними.

Вопрос 4 Как обозначается отрезок? Ответ: Отрезок обозначается указанием его концов.

Вопрос 5 Какая фигура называется лучом? Ответ: Лучом называется часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих от нее по одну сторону.

Вопрос 6 Как обозначаются лучи? Ответ: Для обозначения лучей используются пары прописных латинских букв, например, AB, первая из которых обозначает начало луча, а вторая - какую-нибудь точку, принадлежащую лучу.

Вопрос 7 Какое свойство принимается за аксиому откладывания отрезка? Ответ: На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.

Вопрос 8 Какие два отрезка называются равными? Ответ: Два отрезка называются равными, если один получается из другого операцией откладывания отрезка.

Вопрос 9 Как сложить два отрезка? Ответ: Чтобы сложить два отрезка АВ и CD, продолжим отрезок АВ за точку В и на этом продолжении отложим отрезок ВЕ, равный отрезку CD. Отрезок АЕ даст сумму отрезков АВ и CD

Вопрос 10 Как обозначается сумма отрезков AB и CD? Ответ: АВ + CD.

Вопрос 11 В каком случае говорят, что отрезок АВ меньше отрезка А 1 В 1 ? Ответ: Если при откладывании отрезка АВ на луче А 1 В 1 от точки А 1 точка В переходит в точку B', лежащую между точками А 1 и В 1, то говорят, что отрезок АВ меньше отрезка А 1 В 1.

Вопрос 12 Как обозначается то, что отрезок AB меньше отрезка CD? Ответ: АВ < CD.

Вопрос 13 Как из большего отрезка вычесть меньший? Ответ: Чтобы из большего отрезка CD вычесть меньший отрезок AB, на луче CD от вершины C отложим отрезок CЕ, равный отрезку AB. Отрезок ЕD будет разностью отрезков СD и AB.

Упражнение 1 Назовите отрезки, концами которых являются точки, изображенные на рисунках: а), б). Ответ: а) AB, AC, BC; б) AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Упражнение 2 Назовите лучи, вершинами которых являются точки, изображенные на рисунках. Ответ: а) EA, EB, FA, FB, GA, GB; б) KC, KD, LC, LD, MC, MD, NC, ND.

Упражнение 3 На отрезке АВ взята точка С. Среди лучей АВ, АС, СА, СВ, BA, BC назовите пары совпадающих лучей. Ответ: CA и CB.

Упражнение 4 Между какими точками лежит точка D на рисунке? Ответ: E и F, C и F, A и F, O и F, B и F.

Упражнение 5 Какие точки лежат по одну сторону от точки A на рисунке? Ответ: E и C; O, B, D и F.

Упражнение 6 Для точек A, B, C, D прямой известно, что точки В и С лежат по одну сторону от точки А, точки В и D тоже лежат по одну сторону от точки А. Как расположены точки С и D относительно точки А? Ответ: Точки C и D лежат по одну сторону от точки A

Упражнение 7 На сколько частей делят прямую: а) одна точка? б) две точки? две; три; в) три точки? четыре; г)* n точек? n + 1.

Упражнение 8 На рисунке укажите равные отрезки. Ответ: а) и д), б) и е), в) и г).

Упражнение 9 От вершины C луча CE отложите отрезок CD, равный отрезку AB. Ответ:

Упражнение 10 От вершины C луча CE отложите отрезок CD, равный отрезку AB. Ответ:

Упражнение 11 От вершины C луча CE отложите отрезок CD, равный отрезку AB. Ответ:

Упражнение 12 Сравните отрезки AB и CD на рисунке. Ответ:а) равны;б) равны; в) равны;г) равны;

Упражнение 13 Укажите середины отрезков AB, CD, EF, GH. Ответ:

Упражнение 14 Укажите середины отрезков AB, CD, EF, GH. Ответ:

Упражнение 15 Укажите точки, делящие отрезки AB, CD, EF на три равные части. Ответ:

Упражнение 16 Укажите точки, делящие отрезки AB, CD, EF, GH на три равные части. Ответ:

Упражнение 17 Изобразите отрезок, равный сумме отрезков AB и CD. Ответ:

Упражнение 18 Изобразите отрезок, равный сумме отрезков AB и CD. Ответ:

Упражнение 19 Изобразите отрезок, равный разности отрезков AB и CD. Ответ:

Упражнение 20 Изобразите отрезок, равный разности отрезков AB и CD. Ответ:

Упражнение 21 Для точек A, B прямой укажите, где расположены точки C, для которых выполняются равенства: а) AC + BC = AB; б) AC – BC = AB; в) BC – AC = AB. Ответ: а) точки, лежащие между A и B; б) точки, лежащие от B по другую сторону, чем точка A; в) точки, лежащие от A по другую сторону, чем точка B.

Упражнение 22 На прямой отмечены точки А, В, С, D. Выразите каждый из отрезков в виде суммы или разности остальных. Ответ: AB = AC – BC; AC = AB + BC; AD = AB + BC + CD; BC = BD – CD; BD = BC + CD; CD = BD – BC.

Упражнение 23* Можно ли соединить пять точек плоскости отрезками так, чтобы каждая точка была соединена ровно с: а) двумя; б) тремя; в) четырьмя другими? Ответ:а) Да;б) нет;в) да.