А В С АВС- треугольник А, В, С - вершины АВ, ВС, АС - стороны АВС,ВСА,САВ - углы АВ + ВС + СА= Р периметр

Если при наложении фигуры совпадают, то фигуры равны. Равные Равенство фигур Неравные

АВС = А1В1С1А1В1С1 В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы; против соответственно равных углов лежат равные стороны. А В С А1А1 В1В1 С1С1

Признаки равенства треугольников позволяют установить их равенство без наложения, лишь сравнивая некоторые элементы треугольников. На практике наложение не всегда возможно.

Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Рассуждение – доказательство теоремы. Утверждение = условие + заключение Вертикальные углы равны Сумма смежных углов равна 180

Первый признак равенства треугольников Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, В СА А1А1 В1В1 С1С1 Доказательство: то такие треугольники равны. Дано:АВС,А1В1С1,А1В1С1, АВ = А 1 В 1, АС = А 1 С 1, А =А1А1 Доказать: Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1

В С А А1А1 В1В1 С1С1 т.к. А = А 1, то их можно наложить АВ лежит на луче А 1 В 1 АС лежит на луче А 1 С 1

А1А1 В1В1 А В С С1С1 Так как АВ = А 1 В 1 и АС = А 1 С 1, то АВ совместится с А 1 В 1, АС совместится с А 1 С 1, Тогда совместятся точки В и В 1, С и С 1 Следовательно совместятся ВС и В 1 С 1. Таким образом Δ АВС полностью совместится с ΔА 1 В 1 С 1, значит треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказать: Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 Доказательство: В СА А1А1 В1В1 С1С1 Дано: Δ АВС, Δ А 1 В 1 С 1, АС = А 1 С 1, А= А 1, С = С 1

В СА С1С1 А1А1 Так как АС = А 1 С 1 и А = А 1, С = С 1, то АС совместится с А 1 С 1, АВ будет лежать на луче А 1 В 1, СВ будет лежать на луче С 1 В 1.

В СА В1В1 Вершина В – общая точка сторон АВ и СВ будет лежать как на луче А 1 В 1, так и на луче С 1 В 1, значит совместится с общей точкой лучей А 1 В 1 и С 1 В 1 – точкой В 1. Следовательно совместятся АВ и А 1 В 1, СВ и С 1 В 1. Таким образом Δ АВС полностью совместится с ΔА 1 В 1 С 1, значит треугольники равны. А1А1 С1С1

Третий признак равенства треугольников Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, В СА А1А1 В1В1 С1С1 Доказательство: Дано: Δ АВС, Δ А 1 В 1 С 1, АВ = А 1 В 1, АС = А 1 С 1, ВС = В 1 С 1 то такие треугольники равны. Доказать: Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1

В С А А1А1 В1В1 С1С1 Так как АС = А 1 С 1, то вершина А совместится с А 1, вершина С совместится с С 1. Δ А 1 В 1 В и Δ В 1 С 1 В равнобедренные.

В С А А1А1 В1В1 С1С1 А 1 ВВ 1 = А 1 В 1 В В 1 ВС 1 = В 1 В 1 С то А 1 ВС 1 = А 1 В 1 С 1 АВ = А 1 В 1, ВС = В 1 С 1 по условию АВС = А 1 В 1 С 1 по доказанному Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1 по первому признаку равенства треугольников Так как А 1 ВС 1 = А 1 ВВ 1 + В 1 ВС 1 и А 1 В 1 С 1 = А 1 В 1 В + ВВ 1 С 1,

Треугольники Программа предназначена для использования на уроках геометрии в 7 классе при изучении темы «Треугольники» С её помощью учитель может построить объяснение нового материала. Автор Устюжанина С. Н.