Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника,то такие треугольники равны А В С А1А1 В1В1 С1С1

А В С А1А1 В1В1 С1С1 Дано: ΔABC и ΔА1B1C1 AB=A1B1 AC=A1C1 ے A= ے A1 Доказать: ΔABC=ΔA1B1C1 По двум сторонам и углу между ними

Доказательство: Наложим АВС на А 1 В 1 С 1 так, чтобы точка А 1 совпала с А. Так как АС=А 1 С 1,то, по аксиоме откладывания отрезков, точка С 1 совпадёт с С. Так как А = А 1, то, по аксиоме откладывания углов, луч А 1 В 1 совпадёт с лучом АВ. Так как АВ = А 1 В 1, то, по аксиоме откладывания отрезков, точка В 1 совпадёт с точкой В. Треугольники А 1 В 1 С 1 и АВС совпали, значит, АВС = А 1 В 1 С 1 Ч.Т.Д.

А В СА1А1 В1В1 С1С1

А В СА1А1 В1В1 С1С1

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны

Дано: ΔABC и ΔА1B1C1 AC=A1C1 ے A= ے A1 ے С= ے С1 Доказать: ΔABC=ΔA1B1C1 По стороне и прилежащим к ней углам А В С А1А1 В1В1 С1С1

А В СА1А1 В1В1 С1С1

А В С А1А1 В1В1 С1С1 А В С

Доказательство: Наложим АВС на А 1 В 1 С 1 так, чтобы точка А 1 совпала с А. Так как АС=А 1 С 1,то, по аксиоме откладывания отрезков, точка С 1 совпадёт с С. Так как А = А 1, то, по аксиоме откладывания углов, луч А 1 В 1 совпадёт с лучом АВ. Так как С = С 1, то, по аксиоме откладывания углов, луч С 1 В 1 совпадёт с лучом СВ. Точка В 1 совпадёт с точкой В. Треугольники А 1 В 1 С 1 и АВС совпали, значит, АВС = А 1 В 1 С 1 ЧТД

ВА С Д 1.Проведем биссектрису ВД 2.Рассмотрим треугольники АВД и СВД 3.АВ = СВ по условию 4.Т.к. ВД – биссектриса, то

ТЕОРЕМА: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.равнобедренном

м е д и а н а Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. медианабиссектриса 1 В Ы С О Т А б и с с е к т р и с а Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. высота

А В С К М O Т Продолжение высот тупоугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внешней области треугольника. Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине С. Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внутренней области треугольника. O А В С Точка пересечения высот называется – ортоцентр.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Эта точка тоже замечательная – точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности. O б и с с е к т р и с а

1 Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. В Ы С О Т А В Ы С О Т А Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины острого угла, совпадает с катетом. Высота в тупоугольном треугольнике, проведенная из вершины острого угла, проходит во внешней области треугольника. В Ы С О Т А 11

перпендикуляра к прямой Для построения перпендикуляра к прямой используем чертежный угольник. Н А a. Отрезок АН – перпендикуляр к прямой a. Точка Н называется основанием перпендикуляра. a

Равнобедренный треугольник ВАС К биссектрисабиссектриса высотавысота медианамедиана

Вывод 1.В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 2.В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. 3.В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Доказать второе 2.В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.