ЗАДАНИЯ В ОСНОВНЫЕ ФИГУРЫ ПЛОЩАДИ. СОШ 35 Колмакова В.И.

Основные фигуры планиметрии Площади. Треугольник (медианы, высоты, биссектрисы), сумма углов, равнобедренный треугольник; теоремы Пифагора, синусов, косинусов, Четырехугольники, особые свойства. Окружность и круг Площади треугольников, четырехугольников, круга и сектора.

Изменение процентного отношения средних набранных в территориях баллов к среднекраевому баллу по математике в 2012 году по сравнению с 2011 годом

Распределение набранных итоговых баллов по математике в 2012 году

Распределение неудовлетворительных оценок на ЕГЭ-2012 по математике в территориях края

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Эта точка тоже замечательная – точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности. O б и с с е к т р и с а

BD – BD – биссектриса угла В В A С a D b S DВС S АBD = ВC ВC ВC ВC BA Доказать Докажите, что биссектриса треугольника делит его на треугольники, площади которых пропорциональны прилежащим сторонам треугольника.

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. В А Теорема С L K М 12

м е д и а н а Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. В С М АN Q O Медианы треугольника пересекаются в одной точке! Эта точка называется центр тяжести.

Треугольник, который опирается на опору по линии медианы, находится в равновесии. Треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения медиан, находится в равновесии! Точка, обладающая таким свойством, называется центром тяжести треугольника.

1 Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. В Ы С О Т А В Ы С О Т А Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины острого угла, совпадает с катетом. Высота в тупоугольном треугольнике, проведенная из вершины острого угла, проходит во внешней области треугольника. В Ы С О Т А 11

А В С К М O Т Высоты тупоугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внешней области треугольника. Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине С. Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внутренней области треугольника. O А В С Точка пересечения высот называется – ортоцентр.

a2 =a2 =a2 =a2 = B a A C c b Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон b 2 + c 2 – 2bc cosA Теорема косинусов. Теорема косинусов.

C В A asinAbsinB == csinC a b c (1) (2) (3) Теорема синусов. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

ВС 2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон АВ 2 + AC 2 cos С А В – 2 АВ AC ВС 2 = 72 – 72 (– ) 1 2 ВС 2 = ВС = 108? 6 А ВС = Найти ВС Задача 1

Вписанные окружности. Окружность, вписанная в треугольник. 1. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. 2. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис. 4. Радиус r вписанной окружности треугольника вычисляется по формуле,, где S – площадь, а р – полупериметр треугольника. 3. Если в треугольник вписана окружность, то выполняются равенства z z х х у у C В А

Описанные окружности. Окружность, описанная около треугольника. 1. Любой треугольник можно описать окружностью, причем только одной. 2. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров. 3. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, R=0,5c. 4. Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника лежит за треугольником. 5. В правильном треугольнике 6. В произвольном треугольнике: 1) (следствие из теоремы синусов) 2)

В треугольнике АВС угол С равен 90, Найдите АВ.

В треугольнике KMP угол P равен 90 Найдите

В6. В треугольнике ВСН угол Н равен 90, Найдите ВН.

В треугольнике АВС сторона АВ =, ВС = 2. На стороне АС отмечена точка М так, что АМ = 1, ВМ = 1. Найдите угол АВС. С В А 2 1 М Тренировочные задания 1 (Верно)

Меньшая высота параллелограмма равна 4 см и делит большую сторону на отрезки, каждый из которых равен по 3 см. Найдите большую высоту параллелограмма. А В С DH S ABCD =AD*BH Р 5 S ABCD = 24 S ABCD =СD*BР 24 = 5 * ВР ? ВР = 4,8

Сторона ромба равна одной из его диагоналей. Чему равна величина большего угла этого ромба. А В С D 60 0

В прямоугольнике один из углов, образованных диагоналями, равен 120 0, а меньшая сторона прямоугольника равна 9 см. Найдите диагональ прямоугольника В А С D О см

В прямоугольнике АВСD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке М, причем ВМ : МС =2 : 3. Найдите ВС, если периметр АВСD равен 56 см В А С D 3х Р=56см Р=56см 2(2х+2х+3х) = 56 р=28см р=28см 2х+2х+3х = 28 2х+2х+3х = 28 М х2х

408. Признак ромба Признак ромба. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом А В С D Доказать: Доказать: АВСD ромбДоказательство: Дано: Дано: ABCD параллелограмм АС ВD О АВО = СВО = СDO = DAO По катетам АВ = ВС = СD = DА АВСD ромб по определению

О Диагональ КР прямоугольника КМРТ равна 8 см. Найдите медиану треугольника ТКР, проведенную к его большей стороне. М К Р Т 8 см Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. ?

Формулы для вычисления площади треугольника S = a b 2 1 S = a h a 2 1 S = p(p – a)(p – b)(p – c) b a a h b a c

d1d1d1d1 d2d2d2d2 BC D A параллелограмм ромб S = d 1 d 2 sina 2 1 A d2d2d2d2 D B d1d1d1d1 C S = d 1 d 2 sin A B C D dd S = d 2 sina 2 1 прямоугольник 1

А ВС А В Чем похожи и чем различаются углы АОВ и АСВ? ОО Центральный угол Вписанный угол Составьте определение этих углов. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Блиц-опрос А С В Найдите градусную меру угла АВС О 55 0

Блиц-опрос А С В Найдите градусную меру угла АВС О

Найдите градусную меру угла АВС. О В А С Блиц-опрос

Блиц-опрос. Блиц-опрос. Найдите угол МАВ.МА В О

В6-2013

Блиц-опрос. Блиц-опрос. Найдите дугу АВ. М А В О = / / / / 2 = /

А В О Если дуга АВ окружности с центром О больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной