Отрезок AB длины 1 вращается вокруг прямой c, параллельной этому отрезку и отстоящей от него на расстояние, равное 2. Найдите площадь поверхности вращения. Ответ. Искомой поверхностью вращения является боковая поверхность цилиндра, радиус основания которого равен 2, образующая равна 1. Площадь этой поверхности равна 4. Упражнение 1

Отрезок AB длины 1 вращается вокруг прямой c, перпендикулярной этому отрезку и отстоящей от ближайшего его конца A на расстояние, равное 2 (прямые AB и с лежат в одной плоскости). Найдите площадь поверхности вращения. Ответ. Искомой поверхностью является кольцо, внутренний радиус которого равен 2, а внешний – 3. Площадь этого кольца равна 5. Упражнение 2

Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c, перпендикулярной этому отрезку и проходящей через его середину. Найдите площадь поверхности вращения. Ответ. Искомой поверхностью является круг радиуса 1. Его площадь равна. Упражнение 3

Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c, перпендикулярной этому отрезку и проходящей через точку A. Найдите площадь поверхности вращения. Ответ. Искомой поверхностью является круг радиуса 2. Его площадь равна 4. Упражнение 4

Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c, перпендикулярной этому отрезку и проходящей через точку C, делящей этот отрезок в отношении 1:2. Найдите площадь поверхности вращения. Ответ. Искомой поверхностью является круг радиуса 2. Его площадь равна 4. Упражнение 5

Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c, проходящей через точку A и образующей с этим отрезком угол 30 о. Найдите площадь поверхности вращения. Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность конуса, образующая которого равна 2, радиус основания равен 1. Ее площадь равна 2. Упражнение 6

Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c, проходящей через точку A и отстоящей от точки B на расстояние, равное 2. Найдите площадь поверхности вращения. Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность конуса, образующая которого равна 3, радиус основания равен 2. Ее площадь равна 6. Упражнение 7

Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c, проходящей через середину этого отрезка и образующей с ним угол 30 о. Найдите площадь поверхности вращения. Ответ. Искомая поверхность составлена из двух боковых поверхностей конусов, образующие которых равны 1, а радиусы оснований – 0,5. Ее площадь равна. Упражнение 8

Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c, проходящей через точку C, делящей этот отрезок в отношении 1:2 и образующей с ним угол 30 о. Найдите площадь поверхности вращения. Ответ. Искомая поверхность составлена из двух боковых поверхностей конусов, образующие которых равны 2 и 1, а радиусы оснований равны соответственно 1 и 0,5. Ее площадь равна 2,5. Упражнение 9

Отрезок AB длины 3 вращается вокруг прямой c, лежащей с ним в одной плоскости и отстоящей от концов A и B соответственно на расстояния 1 и 2. Найдите площадь поверхности вращения. Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность усеченного конуса, образующая которого равна 3, радиусы оснований равны 1 и 2. Ее площадь равна 9. Упражнение 10

Отрезок AB длины 2 вращается вокруг прямой c, лежащей с ним в одной плоскости, отстоящей от ближайшего конца A на расстояние, равное 1, и образующей с этим отрезком угол 30 о. Найдите площадь поверхности вращения. Ответ. Искомой поверхностью является боковая поверхность усеченного конуса, образующая которого равна 2, радиусы оснований равны 1 и 2. Ее площадь равна 6. Упражнение 11

Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, полученного вращением единичного квадрата ABCD вокруг прямой AD. Ответ. Искомый цилиндр изображен на рисунке. Радиус его основания и образующая равны 1. Площадь боковой поверхности этого цилиндра равна 2. Упражнение 12

Найдите площадь поверхности вращения прямоугольника ABCD со сторонами AB = 4, BC = 3 вокруг прямой, проходящей через середины сторон AB и CD. Ответ. Искомым телом является цилиндр, радиус основания которого равен 2, а образующая равна 3. Его площадь поверхности равна 20. Упражнение 13

Найдите площадь поверхности тела, полученного вращением единичного квадрата ABCD вокруг прямой AC. Ответ. Искомым телом вращения является объединение двух конусов, радиусы оснований которого и высоты равны. Его площадь поверхности равна. Упражнение 14

Найдите площадь поверхности тела, полученного вращением прямоугольного треугольника ABC с катетами AC = BC = 1 вокруг прямой AC. Ответ. Искомый конус изображен на рисунке. Радиус его основания равен 1, а образующая равна. Площадь поверхности этого конуса равна. Упражнение 15

Найдите площадь полной поверхности тела, полученного вращением равностороннего треугольника ABC со стороной 1 вокруг прямой, содержащей биссектрису CD этого треугольника. Ответ. Искомый конус изображен на рисунке. Радиус его основания равен 0,5, а образующая равна 1. Площадь полной поверхности этого конуса равна 3 /4. Упражнение 16

Найдите площадь поверхности вращения равностороннего треугольника ABC со стороной 1 вокруг прямой AB. Ответ. Искомое тело вращения составлено из двух конусов с общим основанием, радиус которого равен, а высоты – 0,5. Его площадь поверхности равна. Упражнение 17

Упражнение 18 Найдите объем фигуры, которая получается при вращении квадрата вокруг его стороны, равной a. Ответ: a 3.

Упражнение 19 Два цилиндра образованы вращением одного и того же прямоугольника около каждой из неравных его сторон a и b. Как относятся объемы цилиндров? Ответ: a : b.

Найдите объем тела вращения равнобедренной трапеции ABCD с боковыми сторонами AD и BC, равными 1, и основаниями AB и CD, равными соответственно 2 и 1, вокруг прямой AB. Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр с радиусом основания и высотой 1, на основаниях которого достроены конусы, высотой 0,5. Его объем равен. Упражнение 20

Найдите объем тела вращения прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AB и CD, равными соответственно 2 и 1, меньшей боковой стороной, равной 1, вокруг прямой AB. Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр с радиусом основания и высотой, равными 1, на основании которого достроен конус, высотой 1. Его объем равен. Упражнение 21

Найдите объем тела вращения правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 1 вокруг прямой AD. Ответ. Искомое тело вращения состоит из цилиндра, радиус основания которого равен, а высота равна 1 и двух конусов с основаниями радиуса и высотой 0,5. Его объем равен. Упражнение 22

Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEF, изображенного на рисунке и составленного из трех единичных квадратов, вокруг прямой AF. Ответ. Искомое тело вращения состоит из двух цилиндров с основаниями радиусов 2 и 1, высотой 1. Его объем равен 5. Упражнение 23

Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEFGH, изображенного на рисунке и составленного из четырех единичных квадратов, вокруг прямой c, проходящей через середины сторон AB и EF. Ответ. Искомое тело вращения составлено из двух цилиндров высотой 1 и радиусами оснований 1,5 и 0,5. Его объем равен 2,5. Упражнение 24

Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEFGH, изображенного на рисунке и составленного из пяти единичных квадратов, вокруг прямой c, проходящей через середины сторон AB и EF. Ответ. 1. Искомое тело вращения является цилиндром с радиусом основания 1,5 и высотой 2, из которого вырезан цилиндр с радиусом основания 0,5 и высотой 1. Его объем равен 4,25. Упражнение 25

Найдите объем тела вращения единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 вокруг прямой AA 1. Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен, а высота равна 1. Его объем равен 2. Упражнение 26

Найдите объем тела вращения правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, вокруг прямой AA 1. Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания и высота которого равны 1. Его объем равен. Упражнение 27

Найдите объем тела вращения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, вокруг прямой AA 1. Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен 2, а высота равна 1. Его объем равен 4. Упражнение 28

Найдите объем тела вращения правильной четырехугольной пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, вокруг прямой с, содержащей высоту SH этой пирамиды. Ответ. Искомым телом вращения является конус, радиус основания и высота которого равны. Его объем равен. Упражнение 29

Найдите объем тела вращения единичного тетраэдра ABCD вокруг ребра AB. Ответ. 1. Искомое тело вращения составлено из двух конусов с общим основанием радиуса и высотой 0,5. Его объем равен 0,25. Упражнение 30

Найдите объем тела вращения единичного правильного октаэдра SABCDS вокруг прямой S'S. Ответ. Искомое тело вращения состоит из двух конусов с общим основанием радиуса и высотами, равными. Его объем равен. Упражнение 31

Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем тела вращения этого многогранника вокруг прямой AD. Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен, а высота равна 2. Его объем равен 10. Упражнение 32

Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого многогранника вокруг прямой AA 2. Упражнение 33 Ответ. Искомое тело вращения составлено из двух цилиндров, радиусы оснований которых равны,, а высоты равны 1. Его объем равен 13, площадь поверхности равна.

Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого многогранника вокруг прямой CD. Упражнение 34 Ответ. Искомое тело вращения составлено из двух цилиндров, радиусы оснований которых равны,, а высоты равны 1. Его объем равен 13, площадь поверхности равна.

Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого многогранника вокруг прямой c, проходящей через середины ребер A 1 D 1 и B 2 C 2. Упражнение 35 Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен, а высота равна 2. Его объем равен 4, площадь поверхности равна.

Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого многогранника вокруг прямой AD. Упражнение 36 Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен, а высота равна 3. Его объем равен 30, площадь поверхности равна.

Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого многогранника вокруг прямой AB. Упражнение 37 Ответ. Искомое тело вращения составлено из трех цилиндров, радиусы оснований которых равны,,, а высоты равны 1. Его объем равен 33, площадь поверхности равна

Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого многогранника вокруг прямой AA 1. Упражнение 38 Ответ. Искомое тело вращения составлено из двух цилиндров, радиусы оснований которых равны,, а высоты равны 1, из которых вырезан цилиндр с радиусом основания и высотой, равными 1. Его объем равен 30, площадь поверхности равна

Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого многогранника вокруг прямой A 2 A 3. Упражнение 39 Ответ. Искомое тело вращения составлено из двух цилиндров, радиусы оснований которых равны,, а высоты равны 1. Его объем равен 23, площадь поверхности равна

Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого многогранника вокруг прямой AH. Упражнение 40 Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен, а высота равна 2. Его объем равен 36, площадь поверхности равна

Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого многогранника вокруг прямой FG. Упражнение 41 Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен, а высота равна 2. Его объем равен 26, площадь поверхности равна

Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого многогранника вокруг прямой c, проходящей через центры граней ABB 1 A 1 и FEE 1 F 1. Упражнение 42 Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен 1,5, а высота равна 2, из которого вырезан цилиндр, с радиусом основания 0,5 и высотой 1. Его объем равен 8,75, площадь поверхности равна

Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого многогранника вокруг прямой AB. Упражнение 43 Ответ. Искомое тело вращения составлено из трех цилиндров, радиусы оснований которых равны,,, а высоты равны 1. Его объем равен 36, площадь поверхности равна

Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого многогранника вокруг прямой c, проходящей через центры граней AA 1 H 1 H и BB 1 C 1 C. Упражнение 44 Ответ. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен 0,5, а высота равна 3. Его объем равен 9,75, площадь поверхности равна

Пусть тело в пространстве ограничено поверхностью вращения отрезка CD, скрещивающегося с осью вращения AB, и двумя кругами, плоскости которых перпендикулярно оси вращения. Гиперболоид вращения Пусть α – угол между прямыми AB и CD, OH – их общий перпендикуляр, d – его длина, OA = a, OB = b. Найдем объем V этого тела. Через точку X отрезка AB, отстоящую от точки O на расстояние x, проведем плоскость, перпендикулярную прямой AB. В сечении получится круг квадрат радиуса которого равен d 2 +x 2 tg α. Его площадь равна π(d 2 +x 2 tg 2 α.) Такие же площади сечений имеет тело, составленное из цилиндра, радиуса d и высоты a+b, и двух конусов с общей вершиной, радиусами оснований atgα, btgα и высотами a и b. Сумма их объемов равна πd 2 (a+b) + πtg 2 α(a 3 +b 3 )/3. Следовательно, искомый объем V выражается формулой V = πd 2 (a+b) + πtg 2 α(a 3 +b 3 )/3.

Найдите объем тела вращения единичного тетраэдра вокруг прямой, проходящей через середины противоположных ребер. Упражнение 45 Ответ. Искомое тело ограничено двумя кругами и гиперболоидом вращения; a равно b равно половине расстояния между прямыми AB и CD, они равны ; d равно расстоянию между прямыми AD и EF, оно равно, Угол α между прямыми AD и EF равен 45 о. Объем равен.

Найдите объем тела вращения единичного куба вокруг прямой, содержащей его диагональ. Упражнение 46 Ответ. Искомое тело состоит из двух конусов и тела, ограниченного гиперболоидом вращения. Объем конуса равен Для гиперболоида вращения имеем: a = b =, d =, tg α = Объем тела, ограниченного этим гиперболоидом, равен Объем всего тела равен

Найдите объем тела вращения единичного куба вокруг прямой, проходящей через середины его противоположных ребер. Упражнение 47 Ответ: Искомое тело состоит из двух тел, ограниченных гиперболоидами вращения. Для каждого из них имеем: a =, b = 0, d = 0,5, α = 45 о. Объем тела, ограниченного этим гиперболоидом, равен Объем всего тела равен

Найдите объем тела вращения правильной треугольной призмы, все ребра которой равны 1, вокруг прямой, проходящей через середину бокового ребра и центр противоположной ему грани. Упражнение 48 Ответ: Искомое тело ограничено двумя кругами и гиперболоидом вращения: a =, b = 0, d = 0,5, α = 30 о. Объем равен

Найдите объем тела вращения правильной треугольной призмы, все ребра которой равны 1, вокруг прямой, проходящей через середины двух боковых ребер. Упражнение 49 Ответ: Искомое тело ограничено двумя кругами и двумя гиперболоидами вращения, для которых: a = 0,5, b = 0, d = 0,5, α = 60 о. Объем равен

Найдите объем тела вращения единичного октаэдра вокруг прямой, проходящей через центры двух противоположных граней. Упражнение 50 Ответ: Искомое тело ограничено двумя кругами и гиперболоидом вращения, для которого имеем: a = b =, d = 0,5, tg α =. Объем тела, ограниченного этим гиперболоидом, равен