Площадь многоугольника Площадь произвольного многоугольника можно находить, разбивая его на треугольники. При этом площадь многоугольника будет равна сумме площадей этих треугольников. Теорема. Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Следствие. Площадь правильного n-угольника выражается формулой где a – сторона n-угольника, r – радиус вписанной окружности.

Упражнение 1 Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 8.

Упражнение 2 Найдите площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 7,5.

Упражнение 3 Найдите площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 6.

Упражнение 4 Найдите площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 10.

Упражнение 5 Найдите площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 6.

Упражнение 6 Найдите площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ: 20.

Упражнение 7 Диагонали четырехугольника перпендикулярны и равны 4 см и 5 см. Найдите площадь этого четырехугольника. Ответ: 10 см 2.

Упражнение 8 Периметр четырехугольника равен 100 м. Может ли его площадь быть меньше одного квадратного метра, если этот четырехугольник: а) параллелограмм; б) прямоугольник; в) ромб; г) квадрат; д) трапеция? Ответ: а) Да; б) да; в) да; г) нет; д) да.

Упражнение 9 Медианы AA 1 и BB 1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите площадь четырехугольника CA 1 MB 1, если площадь данного треугольника равна 12. Ответ: 4.

Упражнение 10 Середины сторон выпуклого четырехугольника последовательно соединены между собой. Найдите площадь получившегося четырехугольника, если площадь данного четырехугольника равна 16. Ответ: 8.

Упражнение 11 Вершины A и C выпуклого четырехугольника ABCD соединены отрезками с серединами E и F сторон соответственно BC и AD. Найдите площадь четырехугольника AECF, если площадь данного четырехугольника равна 12. Ответ: 6.

Упражнение 12 Вершины A, B, C, D параллелограмма соединены отрезками с серединами его сторон соответственно BC, CD, DA, AB. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного этими отрезками, если площадь данного четырехугольника равна 15. Решение. Искомым четырехугольником является параллелограмм ABCD. Площадь треугольника AAD 1 равна одной пятой площади треугольника ADD 1 и равна одной двадцатой площади параллелограмма. Следовательно, площадь параллелограмма ABCD равна 3. Его площадь равна четырем площадям треугольника AAD 1. Площадь треугольника ADD 1 равна одной четвертой площади параллелограмма.

Упражнение 13 Стороны выпуклого четырехугольника ABCD разделены каждая на три равные части соответственно точками A 1, A 2, B 1, B 2, C 1, C 2, D 1, D 2. Найдите площадь восьмиугольника A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 D 1 D 2, если площадь данного четырехугольника равна 18. Решение. Сумма площадей треугольников AA 1 D 2 и CC 1 B 2 равна сумме площадей треугольников BB 1 A 2 и DD 1 C 2 и равна одной девятой площади данного четырехугольника. Следовательно, площадь восьмиугольника равна семи девятым площади четырехугольника и равна 14.

Упражнение 14 Прямоугольник, стороны которого равны 3 и 4, повернут вокруг точки пересечения диагоналей на угол 60°. Найдите площадь фигуры, которая является общей частью (пересечением) прямоугольников. Ответ: 9.

Упражнение 15 Прямоугольник, стороны которого равны 3 и 4, симметрично отражен относительно прямой, содержащей его диагональ. Найдите площадь фигуры, которая является общей частью (пересечением) прямоугольников. Ответ: 9 4 / 8.

Упражнение 16 Правильный треугольник площади 1 повернут вокруг центра описанной окружности на угол 60°. Найдите площадь фигуры, которая является общей частью (пересечением) треугольников. Ответ: 2/3.

Упражнение 17 Найдите объем общей части правильного треугольника площади 1 и симметричного ему треугольника относительно центра описанной окружности. Ответ: 2/3.

Упражнение 18 Треугольник площади 1 симметрично отражен относительно прямой, содержащей его среднюю линию. Найдите площадь фигуры, которая является общей частью (пересечением) треугольников. Ответ: 0,5.

Упражнение 19 Правильный треугольник со стороной 1 повернут вокруг центра описанной окружности на угол 90°. Найдите площадь фигуры, которая является общей частью (пересечением) треугольников. Ответ:

Упражнение 20 Квадрат со стороной 1 повернут вокруг центра симметрии на угол 45°. Найдите площадь фигуры, которая является общей частью (пересечением) квадратов. Ответ:

Упражнение 21 Правильный шестиугольник площади 1 повернут вокруг центра симметрии на угол 90°. Найдите площадь фигуры, которая является общей частью (пересечением) шестиугольников. Ответ:

Упражнение 22 Вершины квадрата соединены с серединами его сторон, как показано на рисунке. Найдите площадь закрашенного восьмиугольника, если, стороны квадрата равны 12. Ответ: 24.

Упражнение 23 Около окружности, радиуса 1 см, описан многоугольник, периметра 10 см. Найдите его площадь. Ответ: 5 см 2.

Упражнение 24 Площадь многоугольника, описанного около окружности радиуса 3 см, равна 30 см 2. Найдите периметр многоугольника. Ответ: 20 см.

Упражнение 25 Около окружности описан четырехугольник. Найдите площадь четырехугольника, если две его противоположные стороны равны а и b, радиус окружности равен R. Ответ: (a + b)R.

Упражнение 26 Найдите площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиуса 1 см. Ответ: см 2.

Упражнение 27 Используя понятие площади, найдите радиус окружности, вписанной в ромб, изображенный на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ:.

Упражнение 28 Используя понятие площади, найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, изображенный на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ:.

Упражнение 29 Используя понятие площади, найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, изображенный на клетчатой бумаге, клетками которой являются единичные квадраты. Ответ:.

Упражнение 30 В треугольнике ABC AC = 4, BC = 3, угол C равен 90 о. Используя понятие площади, найдите радиус вписанной окружности. Ответ: 1.

Упражнение 31 Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 1. Используя понятие площади, найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Ответ:.

Упражнение 32 Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 1. Используя понятие площади, найдите гипотенузу этого треугольника. Ответ:.

Упражнение 33 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Используя понятие площади, найдите радиус вписанной окружности. Ответ: 1,5.

Упражнение 34 Докажите, что сумма расстояний от любой точки правильного многоугольника до его сторон не зависит от выбранной точки. Ответ: Сумма расстояний от любой точки правильного многоугольника до его сторон равна удвоенной площади этого многоугольника деленой на длину его стороны. Следовательно, она не зависит от выбранной точки.

Упражнение 35 Для разностороннего треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до его сторон наименьшая. Ответ: Искомой точкой является вершина треугольника, противолежащая большей стороне. Сумма расстояний от нее до сторон треугольника равна высоте, опущенной из этой вершины.

Упражнение 36 Найдите точку разностороннего треугольника, сумма расстояний от которой до сторон этого треугольника наибольшая. Ответ: Искомой точкой является вершина треугольника, противолежащая меньшей стороне. Сумма расстояний от нее до сторон треугольника равна высоте, опущенной из этой вершины.

Упражнение 37* Точки A 1 и B 1 делят стороны BC и AC треугольника ABC в отношениях соответственно 1:2 и 2:3. Найдите площадь четырехугольника CA 1 MB 1, если площадь данного треугольника равна 15. Решение. Проведем отрезок A 1 D, параллельный прямой BB 1. По теореме о пропорциональных отрезках B 1 D:DC = 1:2, следовательно, AM:MA 1 = 2:1. Площадь треугольника ABB 1 равна две пятых площади треугольника ABC. Площадь треугольника BA 1 M равна одной третьей площади треугольника ABA 1. Площадь четырехугольника CA 1 MB 1 равна

Упражнение 38* Внутри выпуклого четырехугольника ABCD, площади S, взята точка O. Найдите площадь четырехугольника ABCD, вершинами которого являются точки, симметричные выбранной точке относительно середин сторон данного четырехугольника. Ответ: 2S.

Упражнение 39* Каждая диагональ выпуклого пятиугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна 1. Найдите площадь пятиугольника. Ответ:

Упражнение 40* На рисунке изображен лотарингский крест, служивший эмблемой "Свободной Франции" (организации, которую в годы Второй мировой войны возглавлял генерал де Голль). Он составлен из тринадцати единичных квадратов. В каком отношении делит отрезок BC прямая, проходящая через точку A и делящая площадь лотарингского креста на две равные части? Ответ: В золотом отношении.

Упражнение 41 Выведите формулу площади выпуклого четырехугольника с данными сторонами и двумя противоположными углами. Ответ:

Упражнение 42 Выведите формулу площади выпуклого четырехугольника с тремя данными сторонами и двумя углами, заключенными между ними. Ответ: