Подольская Анастасия Васильевна Школа 316 г. Санкт-Петербург 2005 г.

СЕКУЩАЯ ПЛОСКОСТЬ - любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. СЕКУЩАЯ ПЛОСКОСТЬ пересекает грани многогранника по отрезкам. СЕЧЕНИЕ МНОГОГАННИКА- многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки.

тетраэдрапараллелепипеда КАК ПОСТРОИТЬ?

ТЕТРАЭДР ТЕТРАЭДР имеет четыре грани, его сечениями могут быть только ТРЕУГОЛЬНИКИТРЕУГОЛЬНИКИ и ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

СЕЧЕНИЯ ТЕТРАЭДРА треугольники

СЕЧЕНИЯ ТЕТРАЭДРА четырехугольники

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД имеет шесть граней, его сечениями могут быть ТРЕУГОЛЬНИКИ,ТРЕУГОЛЬНИКИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ,ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ПЯТИУГОЛЬНИКИ иПЯТИУГОЛЬНИКИ ШЕСТИУГОЛЬНИКИ.ШЕСТИУГОЛЬНИКИ

СЕЧЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА треугольники

СЕЧЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА четырехугольники

СЕЧЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА пятиугольники

СЕЧЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА шестиугольники

Построение сечений P M N ЗАДАНИЕ: Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через три данные точки

ЧТО ДЕЛАТЬ? P M N Вспомним аксиомы стереометрии A B α Если α- плоскость сечения, а точки лежат на грани многогранника, то прямая АВ есть общая прямая для этих плоскостей. Надо провести эту прямую, отрезок этой прямой между ребрами – сторона сечения. Проведем отрезок МР для параллелепипеда.

Построим сечение P M N МР – сторона сечения. Ищем общее ребро для грани с отрезком МР и грани с точкой N Продолжим это ребро до пересечения с прямой МР Х – точка пересечения этих прямых, она лежит на двух гранях и в секущейплоскости. Х

P M N Точка N лежит в плоскости задней грани и в секущей плоскости, так же как Х, т. е. прямая NХ удовлетворяет нашим условиям Проведем эту прямую Отрезок между ребрами – сторона сечения. Х K Отрезок MK – сторона сечения, лежащая в верхнем основании.

Выбираем прямую, лежащую в плоскости сечения и в грани многогранника. Надо двигаться к другим граням. Возможны два способа последующих действий Х P M N K Выбирай: Использовать параллельность плоскостей граней параллелепипеда Использовать предыдущие рассуждения.

Противоположные грани параллелепипеда лежат на параллельных плоскостях. Плоскость сечения пересекает эти грани по параллельным прямым. Х P M N K Строим отрезок РЕ, параллельный отрезку KN, в передней грани Строим отрезок NT, параллельный отрезку РM, в боковой грани Е Т

Последний этап Осталось соединить точки Е и Т, лежащие в нижнем основании, отрезком. Х P M N K Имеем шестиугольник РЕTNKM, который является искомым сечением параллелепипеда плоскостью MNP Е Т

Выбираем прямую MK, лежащую в плоскости верхнего основания, и точку Р, рассматривая ее лежащей в переднейграни. Продолжаем общее ребро этих граней до пересечения с прямой МК Х P M N K Точка Y лежит в плоскости передней грани и в секущей плоскости, так же как Р, т. е. прямая YP удовлетворяет нашим условиям Y Отрезок между ребрами – сторона сечения. E

Выбираем прямую PE, лежащую в плоскости переднейграни, и точку N, рассматривая ее лежащейв плоскости боковой грани. Продолжаем общее ребро этих граней до пересечения с прямой PE Х P M N K Точка Z лежит в плоскости передней грани и в секущей плоскости, так же как Р, т. е. прямая ZN удовлетворяет нашим условиям Y Отрезок между ребрами – сторона сечения. E Z T

ПОПРОБУЙ СВОИ СИЛЫ В построении сечений В проверке правильности построений В решении задач с использованием сечений ЕСЛИ хочешь, ПОВТОРИ просмотр, или ЗАВЕРШИ.

M P N ЗАДАНИЕ: Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через три данные точки Построение сечений

M P N Если (MNP)- плоскость сечения, а точки M и P лежат на грани тетраэдра, то прямая MP есть общая прямая для этих плоскостей, отрезок этой прямой между ребрами– сторона сечения. Проведем его. ЧТО ДЕЛАТЬ? Те же рассуждения проведем для точек M и N, отрезок прямой MN между ребрами – сторона сечения.

M P N Выбираем прямую, лежащую в плоскости сечения и в грани многогранника. Надо двигаться к другим граням. Возможны два способа последующих действий Выбирай: Использовать параллельность прямой MN и плоскости нижнего основания тетраэдра Использовать предыдущие рассуждения.

M P N Прямая MN параллельна плоскости нижнего основания. Секущая плоскость, проходящая через прямую MN, пересекает основание по прямой, параллельной MN. Точка Р сечения лежит в основании тетраэдра, поэтому искомая прямая проходит через эту точку. Надо построить прямую по данным условиям. Отрезок построенной прямой между ребрами – сторона сечения. Т

M P N Выбираем прямую MP, лежащую в плоскости сечения и в левойбоковой грани тетраэдра и точку N, в правой боковой грани. Продолжим общее ребро этих граней до пересечения с прямой MP. Точка Х – точка пересечения этих прямых, лежит в секущейплоскости и в плоскости боковой грани, где лежит N X Отрезок NT прямойNX между ребрами – сторона сечения. T

M P N Четырехугольник MNTP - искомое сечения. Т Последний этап Осталось соединить точки N и Т, лежащие в боковой грани, отрезком.

M P N Четырехугольник MNTP - искомое сечение. Т Осталось соединить точки P и Т, лежащие в основании тетраэдра, отрезком.

Как проверить правильность построенных сечений? Ищите чужие ошибки … Ошибка в том, что нет сторон сечений в гранях.

В плоскости основания два отрезка Две скрещивающиеся прямые не могут находиться в плоскости сечения

Нарушены свойства параллельности плоскостей и параллельности прямой и плоскости.