Средняя линия треугольника Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Средняя линия треугольника Урок 1. I. Устная работа 1) Может ли треугольник быть невыпуклым? 2) Где расположена точка пересечения высот прямоугольного.
Advertisements

Трапеция Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Трапеция называется равнобедренной, если.
Признак параллелограмма Теорема 1. (Первый признак параллелограмма.) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник -
Площадь треугольника. I. Математический диктант Вариант 1 1. Параллелограммом называется … 2. Площадь ромба равна произведению его стороны на … 3. Площадь.
Многоугольники, описанные около окружности Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность.
Геометрия 9 класс Многоугольники. Содержание Правильные многоугольники Параллелограмм Прямоугольник Ромб Трапеция Теоремы о площади четырехугольника.
Прямоугольник, ромб, квадрат Урок 2. Новый материал Вопрос - Могут ли в параллелограмме диагонали быть перпендикулярными? Попробуем изобразить такой параллелограмм.
Трапеция Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Трапеция называется равнобедренной, если.
Многоугольники, описанные около окружности Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность.
Прямоугольник Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником. Теорема (Признак прямоугольника.) Если в параллелограмме диагонали.
Теорема 1 Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок.
Четырехугольники Четырехугольником называется многоугольник с четырьмя углами. Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Четырехугольник, у которого.
Прямоугольник, ромб, квадрат Урок1. I. Устная работа 1) Существует ли параллелограмм, у которого сторона и диагонали равны соответственно: а) 6 см, 10.
Параллелограмм Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Изопериметрическая задача Изопериметрической задачей называют задачу о нахождении фигуры наибольшей площади, ограниченной кривой заданной длины (периметра)
1© Богомолова ОМ. Сумма двух углов параллелограмма равна 80 о. Найдите один из оставшихся углов Ответ: 140 о 2 Богомолова ОМ.
Теорема 1 Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок.
1. Верно ли, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то это ромб? Почему? 2. Верно ли, что если в четырехугольнике противоположные углы прямые,
Треугольники Треугольник называется остроугольным если у него все углы острые (рис. 1). Треугольник называется прямоугольным если у него есть прямой угол.
Равнобедренные треугольники Треугольник называется равнобедренным, если у него … две стороны равны (рис. 1). Эти равные стороны называются …боковыми сторонами,
Транксрипт:

Средняя линия треугольника Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема о средней линии треугольника Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине. Треугольники ECD и EBF равны по первому признаку равенства треугольников. Следовательно, BF = CD, значит, BF = AD. Угол 3 равен углу 4, значит, прямые AC и BF параллельны. Таким образом, по признаку параллелограмма, четырехугольник ABFD – параллелограмм. Итак, сторона АВ параллельна и равна стороне DF. Средняя линия DE равна половине DF и, следовательно, половине АВ. Доказательство. Пусть DE – средняя линия треугольника АВС. Докажем, что DE параллельна АВ и равна ее половине. Отложим на прямой DE отрезок EF = DE и соединим отрезком точки B и F.

Упражнение 1 Проведите средние линии треугольника ABC, изображенного на рисунке. Ответ:

Упражнение 2 Изобразите треугольник, середины сторон которого отмечены на рисунке. Ответ:

Упражнение 3 Изобразите треугольник, середины сторон которого отмечены на рисунке. Ответ:

Упражнение 4 Углы треугольника равны 50 о, 60 о и 70 о. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. Ответ: 50 о, 60 о и 70 о.

Упражнение 5 Стороны треугольника равны 8 см, 10 см и 12 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. Ответ: 4 см, 5 см и 6 см.

Упражнение 6 Стороны треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см. Его вершины являются серединами сторон второго треугольника. Найдите периметр второго треугольника. Ответ: 18 см.

Упражнение 7 Периметр треугольника равен 12 см, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр получившегося треугольника. Ответ: 6 см.

Упражнение 8 Периметр равностороннего треугольника равен 72 см. Найдите его среднюю линию. Ответ: 12 см.

Упражнение 9 Периметр треугольника равен 12 см. Найдите периметр треугольника, отсекаемого от данного какой-нибудь его средней линией. Ответ: 6 см.

Упражнение 10 Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см. Ответ: 5 см, 5 см, 6 см.

Упражнение 11 Через вершины треугольника проведены прямые, параллельные его противоположным сторонам. Найдите периметр треугольника, ограниченного этими прямыми, если периметр исходного треугольника равен 6 см. Ответ. 12 см.

Упражнение 12 Диагонали четырехугольника равны а и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника. Ответ: a + b.

Упражнение 13 В прямоугольнике меньшая сторона равна 20 см и образует с диагональю угол в 60 о. Середины сторон прямоугольника последовательно соединены. Найдите периметр полученного четырехугольника. Ответ: 80 см.

Упражнение 14 Докажите, что середины сторон произвольного четырех- угольника являются вершинами параллелограмма. Решение: Пусть ABCD – четырехугольник, E, F, G, H – середины его сторон. Проведем диагональ AC. EF – средняя линия треугольника ABC и, следовательно, параллельна AC и равна ее половине. Аналогично, HG – средняя линия треугольника ACD и, следовательно, параллельна AC и равна ее половине. Таким образом, стороны EF и HG четырехугольника EFGH равны и параллельны. Значит, этот четырехугольник – параллелограмм.

Упражнение 15 Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. Решение. Пусть ABCD – прямоугольник, E, F, G, H – середины соответствующих сторон. Проведем диагонали AC и BD. Отрезок EF является средней линией треугольника ABC, следовательно, он равен половине диагонали AC. Аналогично, остальные стороны четырехугольника EFGH равны половинам соответствующих диагоналей. Так как диагонали прямоугольника равны, то равны и стороны этого четырехугольника, т.е. он является ромбом.

Упражнение 16 Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. Решение. Пусть ABCD – ромб, E, F, G, H – середины соответствующих сторон. Проведем диагонали AC и BD. Отрезок EF является средней линией треугольника ABC, следовательно, он параллелен диагонали AC. Аналогично, остальные стороны четырехугольника EFGH параллельны соответствующим диагоналям. Так как диагонали ромба перпендикулярны, то перпендикулярны и соседние стороны этого четырехугольника, т.е. он является прямоугольником.

Упражнение 17 Вершинами какого четырехугольника являются середины сторон квадрата? Ответ. Квадрата.