Синтез APT и CAPM Работу выполнила Студентка 51 группы Экономического факультета (отделения финансы и кредит) Паршикова Дарья Михайловна

Однофакторные модели Рассмотрим, что происходит, если доходы генерируются по однофакторной модели и этим фактором является рыночный портфель (market portfolio). В этой ситуации соответствует ожидаемой доходности рыночного портфеля и означает коэффициент «бета» акции i по отношению к рыночному портфелю. Следовательно, модель CAPM описывает этот случай. Что делать, если доходы генерируются по однофакторной модели и этот фактор не является рыночным портфелем? Тогда соответствует ожидаемой доходности портфеля с единичной чувствительностью к фактору, а означает чувствительность акции i, измеренную по отношению к фактору. Однако если CAPM справедлива, то ожидаемая доходность ценной бумаги i связана и с её коэффициентом «бета», и с чувствительностью: (1) (2) Это наводит на мысль о том, что коэффициенты «бета» и чувствительности должны быть связаны друг с другом. Это связь будет рассмотрена далее.

Коэффициенты «бета» и факторные чувствительности Как может ожидаемая доходность быть линейно связанной и с коэффициентом «бета», и с чувствительностями? Это происходит потому, что они связаны следующим образом:: (3) где означает ковариацию между фактором и рыночным портфелем, а означает дисперсию доходности рыночного портфеля. Так как величина / является постоянной и не изменяется от одной ценной бумаги к другой, то уравнение (3) означает, что будут равны константам, умноженным на, если при этом выполнены уравнения (1) и (2). Таким образом, если фактором является промышленное производство, то уравнение (3) означает, что коэффициент «бета» каждой ценной бумаги равен константе, умноженной на чувствительность ценной бумаги к промышленному производству. Эта константа будет положительным числом, если промышленное производство и доходность рыночного портфеля положительно коррелированны, так как при этом будет положительной. Наоборот, константа будет отрицательной, если корреляция отрицательна, так как при этом будет отрицательной.

Премия за факторный риск Продолжая это обсуждение, посмотрим, что случится, если выражение из уравнения (3) подставить в уравнение (1): (4) Сравнение этого уравнения с уравнением(5) показывает, что если предположения и APT (с одним фактором), и CAPM выполнены, то должно выполняться следующие соотношение: (6) Сама по себе APT ничего не говорит о размере премии за факторный риск. Однако если модель CAPM справедлива, то эта теория может дать некоторую информацию. Эта информация содержится в уравнении (6), которое верно, если предположения обеих теорий выполнены.

Представим, что фактор меняется вместе с рыночным портфелем, т.е. фактор положительно коррелирован с рыночным портфелем так, что положительна. Если и положительны, то правая часть уравнения (6) положительна и поэтому положительна. Далее, поскольку положительна, то из уравнения (5) следует, что чем больше величина, тем больше ожидаемая доходность ценной бумаги. Обобщим эти рассуждения. Если фактор положительно коррелирован с рыночным портфелем, то ожидаемая доходность ценной бумаги будет положительной функцией чувствительности ценной бумаги к этому фактору. Если фактор меняется в направлении, противоположном рыночному портфелю, т.е. F1 отрицательно коррелированно с, то будет отрицательной. Это означает, что чем больше величина, тем меньше ожидаемая доходность ценной бумаги. Обобщая, можно сказать, если фактор отрицательно коррелирован с рыночным портфелем, то ожидаемая доходность ценной бумаги будет отрицательной функцией чувствительности ценной бумаги к этому фактору.

Многофакторные модели Теория CAPM может работать, даже если процесс формирования доходов описывается многофакторной моделью. Рассмотрим, например, двухфакторную модель. Уравнения (1) и (2) могут быть обобщены для демонстрации связи между ожидаемым доходом ценной бумаги, её коэффициентом «бета» и двумя чувствительностями: (7) (8) В этом случае уравнение (3) обобщается для отражения линейной зависимости между коэффициентами «бета» и чувствительностями: (9) где и означают ковариацию между первым фактором и доходностью рыночного портфеля и между вторым фактором и доходностью рыночного портфеля соответственно. Если и постоянны, то из уравнения (9) следует, что будет функцией и (при условии выполнения уравнений (7) и (8)). Это означает, что коэффициент «бета» акции будет линейной комбинацией ее чувствительностей к двум факторам, что в нашем примере означает зависимость величины коэффициента «бета» акции от величины чувствительности акции к предсказанным промышленному производству и инфляции.

Если в уравнении (7) вместо подставить правую часть уравнения (9), то получим: (10а) Уравнение (10а) можно переписать в другом виде: (10б) Сравнение этого уравнения с уравнением (11) показывает, что если одновременно выполнены предположения APT (двухфакторной) и CAPM, то справедливы следующие соотношения: (12а) (12б)

Таким образом и зависят как от рыночной премии положительного числа, так и от ковариации фактора с рыночным портфелем, которая может быть как положительной, так и отрицательной. Это означает, что и будут положительными числами, если факторы положительно коррелированны с доходностью рыночного портфеля. Однако если любой из факторов отрицательно коррелирован с доходностью рыночного портфеля, то соответствующая величина будет отрицательной (как это было в примере с )

Подведём итоги APT и CAPM могут согласовываться друг с другом. Если доходы по ценной бумаге генерируются по факторной модели и выполняется CAPM, то коэффициент «бета» ценной бумаги зависит от чувствительностей ценной бумаги к факторам и от ковариаций факторов и рыночного портфеля.