Система уроков по организации повторения для подготовки к сдаче экзамена в формате ЕГЭ по теме «Исследование функций» Учителя математики Лицея 1557 С.О.Ганыкина, М.С. Пикалова (С) Пикалова М.С., Ганыкина С.О.,

«Исследование функций» Данная работа представляет организацию повторения по следующим темам: Область определения и множество значений функции; Четность и нечетность функций; Возрастание и убывание функций; Наибольшее и наименьшее значение функций; Нули и промежутки знакопостоянства функций; Производная и первообразная функции.

«Исследование функций» Структура уроков: Повторение теории по теме; Разбор и самостоятельное решение задач; Домашнее задание к уроку в формате ЕГЭ.

«Исследование функций» 1 урок «Область определения и множество значений функции. Четность и нечетность функций».

1 урок «Область определения, множество значений функции. Четность и нечетность функции». Теория: Областью определения функции D(f) называется множество допустимых значений переменной x ; Множеством значений функции E(f) называется множество значений, которые принимает переменная y.

1 урок «Область определения, множество значений функции. Четность и нечетность функции». Теория: Функция называется четной, если выполняются условия: 1)если, то и ; 2)для любого x из области определения выполняется равенство:. Из определения четной функции следует, что ее график симметричен относительно оси Ox.

1 урок «Область определения, множество значений функции. Четность и нечетность функции». Теория: Функция называется нечетной, если выполняются условия: 1)если, то и ; 2)для любого x из области определения выполняется равенство:. Из определения нечетной функции следует, что ее график симметричен относительно начала координат.

1 урок «Область определения, множество значений функции. Четность и нечетность функции». Задачи к уроку; Домашнее задание..

«Исследование функций» 2 урок «Возрастание, убывание функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции».

2 урок «Возрастание, убывание функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции». Теория: Пусть функция определена на отрезке. Функция возрастает на отрезке, если для любых двух значений аргумента и этого промежутка из неравенства следует.

2 урок «Возрастание, убывание функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции». Достаточное условие возрастания функции: Если функция имеет положительную производную в каждой точке интервала и непрерывна в точках и, то функция возрастает на отрезке.

2 урок «Возрастание, убывание функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции». Графическая интерпретация возрастания функции: С увеличением значений аргумента график функции «поднимается» вверх.

2 урок «Возрастание, убывание функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции». Теория: Пусть функция определена на отрезке. Функция убывает на отрезке, если для любых двух значений аргумента и этого промежутка из неравенства следует.

2 урок «Возрастание, убывание функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции». Достаточное условие убывания функции: Если функция имеет отрицательную производную в каждой точке интервала и непрерывна в точках и, то функция убывает на отрезке.

2 урок «Возрастание, убывание функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции». Графическая интерпретация убывания функции: С увеличением значений аргумента график функции «опускается» вниз.

2 урок «Возрастание, убывание функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции». Теория: Нулями функции называются значения аргумента, при которых значение функции равно 0. Графическая интерпретация нулей функции: Нули функции – точки пересечения графика функции с осью Ox.

2 урок «Возрастание, убывание функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции». Теория: Промежутками знакопостоянства функции называются числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак.

2 урок «Возрастание, убывание функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции». Задачи к уроку; Домашнее задание.

«Исследование функций» 3 урок «Вычисление производной и первообразной функции».

3 урок «Вычисление производной и первообразной функции» Теория: Таблица производных:

3 урок «Вычисление производной и первообразной функции» Теория: Правила вычисления производных:

3 урок «Вычисление производной и первообразной функции» Теория: Производная сложной функции: Если есть функция от :, где в свою очередь есть функция от аргумента :, тогда и производная равна.

3 урок «Вычисление производной и первообразной функции» Теория: Геометрический смысл производной: Значение производной функции в точке с абсциссой равно тангенсу угла наклона, который образует касательная, проведенная к графику данной функции в точке с абсциссой, с положительным направлением оси ОX. Тангенс угла наклона касательной – это ее угловой коэффициент.

3 урок «Вычисление производной и первообразной функции» Теория: Физический смысл производной: Если - координата точки в момент времени, то производная есть скорость точки в момент времени.

3 урок «Вычисление производной и первообразной функции» Теория: Таблица первообразных:

3 урок «Вычисление производной и первообразной функции» Теория: Правила вычисления первообразных: Если - первообразная для, а - первообразная для, то - первообразная для. Если - первообразная для,а - постоянная, то - первообразная для. Если - первообразная для функции, а и – постоянные,, то - первообразная для функции.

3 урок «Вычисление производной и первообразной функции» Задачи к уроку; Домашнее задание.

«Исследование функций» 4-5 уроки «Точки максимума и минимума функции. Максимум и минимум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции».

4-5 уроки «Точки максимума и минимума функции. Максимум и минимум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции». Теория: Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Точками экстремума функции называются точки минимума и максимума, а значения функции в этих точках соответственно минимумом и максимумом функции.

4-5 уроки «Точки максимума и минимума функции. Максимум и минимум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции». Теория: Необходимое условие существования экстремума функции: Если точка является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то она равна нулю, т.е.. Вывод: точки экстремума можно найти среди критических точек функции.

4-5 уроки «Точки максимума и минимума функции. Максимум и минимум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции». Теория: Достаточное условие существования минимума функции: Пусть функция непрерывна в точке и имеет производную в некоторой окрестности этой точки. Если при переходе через точку производная функции меняет свой знак с «минуса» на «плюс», то - точка минимума функции.

4-5 уроки «Точки максимума и минимума функции. Максимум и минимум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции». Графическая интерпретация точки минимума: Функция имеет точку минимума, если в точке с абсциссой график функции имеет вид «впадины».

4-5 уроки «Точки максимума и минимума функции. Максимум и минимум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции». Теория: Достаточное условие существования максимума функции: Пусть функция непрерывна в точке и имеет производную в некоторой окрестности этой точки. Если при переходе через точку производная функции меняет свой знак с «плюса» на «минус», то - точка максимума функции.

4-5 уроки «Точки максимума и минимума функции. Максимум и минимум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции». Графическая интерпретация точки максимума: Функция имеет точку максимума, если в точке с абсциссой график функции имеет вид «горы(вершины)».

4-5 уроки «Точки максимума и минимума функции. Максимум и минимум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции». Теория: Пусть функция определена на отрезке Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке. 1.Найти производную функции ; 2.Найти критические точки функции, лежащие внутри отрезка ; 3.Найти значения функции в этих точках и на концах отрезка; 4.Из полученных чисел выбрать наибольшее (наименьшее).

4-5 уроки «Точки максимума и минимума функции. Максимум и минимум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции». Теория: Если функция возрастает (убывает) на отрезке, то свое наибольшее или наименьшее значение она принимает на концах отрезка.

4-5 уроки «Точки максимума и минимума функции. Максимум и минимум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции». Задачи к урокам; Домашнее задание.

«Исследование функций» 6 – 7 уроки «Решение задач повышенного и высокого уровня сложности на применение свойств функции».

6-7 уроки «Решение задач повышенного и высокого уровня сложности на применение свойств функции». На данных уроках разбираются задачи частей В и С. В качестве домашнего задания учащимся можно предложить самостоятельное решение задач к этому уроку с последующим разбором. Задачи к урокам;

«Исследование функций» 8-9 уроки «Контрольная работа» 1 вариант 2 вариант

«Исследование функций» Задачи и домашнее задание к урокам, а также тексты 2 вариантов контрольной работы можно скачать здесь:

Литература: ФИПИ «Единый государственный экзамен Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся»; «Интеллект-Центр», 2007; ФИПИ «Единый государственный экзамен Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся»; «Интеллект-Центр», 2004; «Алгебра и начала анализа. Сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы под редакцией С.А.Шестакова», МИОО, МЦНМО «Интерактивная линия», Москва, 2002.