Равнобедренные треугольники Треугольник называется равнобедренным, если у него … две стороны равны (рис. 1). Эти равные стороны называются …боковыми сторонами, а третья сторона –основанием. Треугольник называется равносторонним, если у него … все стороны равны (рис. 2).

Теорема В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой. Доказательство. Пусть ABC – равнобедренный треугольник, AC = BC, CD – биссектриса. Тогда треугольник ACD равен треугольнику BCD по первому признаку равенства треугольников (АС = ВС, СD – общая сторона, ACD = BCD). Следовательно, имеют место равенства: AD = BD, уголADC равен углу BDC. Первое из этих равенств означает, что CD является медианой данного треугольника, второе – что CD является его высотой.

Упражнение 1 Нарисуйте какой-нибудь равнобедренный треугольник, основанием которого является отрезок AB, а вершина C расположена в одном из узлов сетки. Сколько таких треугольников? Ответ. 6.

Упражнение 2 Нарисуйте какой-нибудь равнобедренный треугольник, основанием которого является отрезок AB, а вершина C расположена в одном из узлов сетки. Сколько таких треугольников? Ответ. 6.

Упражнение 3 Нарисуйте какой-нибудь равнобедренный треугольник, основанием которого является отрезок AB, а вершина C расположена в одном из узлов сетки. Сколько таких треугольников? Ответ. 6.

Упражнение 4 Нарисуйте какой-нибудь равнобедренный треугольник, боковой стороной которого является отрезок AС, а вершина B расположена в одном из узлов сетки. Сколько таких треугольников? Ответ. 2.

Упражнение 5 Нарисуйте какой-нибудь равнобедренный треугольник, боковой стороной которого является отрезок AС, а вершина B расположена в одном из узлов сетки. Сколько таких треугольников? Ответ. 12.

Упражнение 6 На рисунке AB = BC. Докажите, что угол 1 равен углу 2. Решение: Треугольник ABC – равнобедренный, так как AB = BC. Следовательно, угол BAC равен углу BCA, как углы при основании равнобедренного треугольника. Отсюда следует, что угол 1 равен углу 2 как смежные углы соответственно равным углам.

Упражнение 7 В треугольнике CDE угол 1 равен углу 2. Верно ли утверждение о том, что это равнобедренный треугольник? Ответ: Да.

Упражнение 8 Ответ: а), б), в) Да. В треугольнике FGH угол 1 равен углу 2 и равен углу 3. Верно ли утверждение о том, что это треугольник: а) равнобедренный; б) равносторонний; в) правильный?

Упражнение 9 Ответ: 0,8 м. Периметр равнобедренного треугольника равен 2 м, а основание - 0,4 м. Найдите боковую сторону.

Упражнение 10 Ответ: 3,5 м. Периметр равнобедренного треугольника равен 7,5 м, а боковая сторона - 2 м. Найдите основание.

Упражнение 11 Ответ: а) 3,2 м; 6, 2 м; 6,2 м; Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если: а) основание меньше боковой стороны на 3 м; б) основание больше боковой стороны на 3 м. б) 7,2 м; 4,2 м; 4,2 м.

Упражнение 12 Ответ: 6 см; 16 см; 16 см. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника относятся как 3:8. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 38 см.

Упражнение 13 Ответ: 15 м. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Найдите ее длину, если периметр треугольника АВС равен 50 м, а треугольника АВD - 40 м.

Упражнение 14 Доказательство: Пусть в треугольнике ABC биссектриса CD является высотой. Тогда треугольники ACD и BCD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AC = BC, т.е. треугольник ABC равнобедренный. Докажите, что если биссектриса треугольника является и высотой, то треугольник равнобедренный.

Упражнение 15 Доказательство: Пусть в треугольнике ABC медиана CD является высотой. Тогда треугольники ACD и BCD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AC = BC, т.е. треугольник ABC равнобедренный. Докажите, что если медиана треугольника является и высотой, то треугольник равнобедренный.

Упражнение 16 Доказательство: Пусть треугольник ABC равнобедренный (AC = BC). N, M, K – середины сторон. Тогда треугольники AMN и BMK равны по первому признаку и, следовательно, NM = MK, т.е. треугольник NMK равнобедренный. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами также равнобедренного треугольника.

Упражнение 17 В треугольнике АВС АВ = АС и угол 1 равен углу 2. Докажите, что угол 3 равен углу 4. Решение: Треугольники ABE и ACD равны по второму признаку равенства треугольников (AB = AC, угол BAE равен углу CAD, угол ABE равен углу ACD). Следовательно, угол AEB равен углу ADC, значит, угол 3 равен углу 4.

Упражнение 18 Решение: Треугольники ACD и AEB равны по второму признаку равенства треугольников (AD = AE, угол CAD равен углу BAE, угол ADC равен углу AEB). Следовательно, CD = BE и, значит, BD = CE. На рисунке AD = AE, угол CAD равен углу BAE. Докажите, что BD = CE.

На рисунке CD = BD, угол 1 равен углу 2. Докажите, что угол ACB равен углу ABC. Решение. Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (AD – общая сторона, BD = CD, угол ADB равен углу ADC). Следовательно, равны соответствующие стороны AB и AC этих треугольников. Треугольник ABC равнобедренный и, значит, угол ACB равен углу ABC. Упражнение 19

На рисунке угол 1 равен углу 2, угол 5 равен углу 6. Докажите, что угол 3 равен углу 4. Решение. Треугольники ABС и ABD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, угол ABC равен углу ABD, угол BAC равен углу BAD). Следовательно, равны соответствующие стороны BC и BD этих треугольников. Треугольник BCD равнобедренный и, значит, угол 3 равен углу 4. Упражнение 20

На рисунке АВ = AD и DC = BC. Докажите, что угол ABC равен углу ADC. Решение. Проведем отрезок BD. Треугольник ABD равнобедренный (AB = AD). Следовательно, угол ABD равен углу ADB. Треугольник CBD равнобедренный (CB = CD). Следовательно, угол CBD равен углу CDB. Значит, угол ABC равен углу ADC. Упражнение 21

На рисунке DC = BC и угол B равен углу D. Докажите, что АВ = AD Решение. Проведем отрезок BD. Треугольник BCD равнобедренный (BC = DC). Следовательно, имеет место равенство углов DBC и BDC. Из этого равенства и равенства углов ABC и ADC следует равенство углов ABD и ADB. Значит, треугольник ABD – равнобедренный и, следовательно, АВ = AD. Упражнение 22

На рисунке AB = BC, CD = DE. Докажите, что угол BAC равен углу CED. Решение. Треугольник ABC – равнобедренный и, следовательно, угол BAC равен углу BCA. Треугольник CDE – равнобедренный и, следовательно, угол DCE равен углу DEC. Углы BCA и DCE равны как вертикальные. Следовательно, угол BAC равен углу DEC. Упражнение 23

На рисунке AB = BC, угол 1 равен углу 2. Докажите, что AD = CD. Решение. Проведем отрезок AC. Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC). Следовательно, угол BAC равен углу BCA. Из этого равенства и равенства углов 1 и 2 следует равенство углов DAC и DCA. Значит, треугольник DAC равнобедренный и, следовательно, AD = CD. Упражнение 24

Упражнение 25 Решение. Пусть ABC – равнобедренный треугольник (AB = BC), AN и CM – медианы. Тогда AM = CN и треугольники ACM и CAN равны по первому признаку. Следовательно, AN = CM. Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

Упражнение 26 Решение. Треугольники ADF и BED равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE, AF = BD, угол A равен углу B). Следовательно, DF = ED. Аналогично доказывается, что ED = FE. На сторонах правильного треугольника АВС отложены равные отрезки AD, BE и CF. Точки D, E и F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF правильный.

Упражнение 27 Решение. Треугольники ADF и BED равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE, AF = BD, угол A равен углу B). Следовательно, DF = ED. Аналогично доказывается, что ED = FE. На продолжении сторон правильного треугольника АВС отложены равные отрезки AD, BE и CF. Докажите, что треугольник DEF правильный.

Упражнение 28 Используя перегибание листа клеточной бумаги, получите равносторонний треугольник ABC. Решение. Перегнем лист клеточной бумаги по некоторой прямой AD так, чтобы точка B перешла в некоторую точку C на прямой C 1 C 2. Треугольник ABC будет искомым равносторонним треугольником.