Б. Кавальери Бонавентуре Кавальери (1598 – 1647) принадлежат труды по тригонометрии, логарифмам, геометрической оптике и т.д., но главным делом его жизни была книга «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного», в которой он предложил способ вычисления площадей плоских фигур и объемов пространственных тел, основанный на сравнении их сечений. Метод вычисления объемов пространственных тел, предложенный Б. Кавальери, называется принципом Кавальери.

Принцип Кавальери Принцип Кавальери. Если при пересечении двух фигур Ф 1 и Ф 2 в пространстве плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях получаются фигуры F 1 и F 2 одинаковой площади, то объемы исходных пространственных фигур равны.

Обобщенный цилиндр Пусть α и π - две параллельные плоскости, l - пересекающая эти плоскости прямая; F – фигура на одной из этих плоскостей, F – ее параллельная проекция на другую плоскость в направлении прямой l. Отрезки, соединяющие точки фигуры F с их проекциями, образуют фигуру в пространстве, которую мы будем называть обобщенным цилиндром. Фигуры F и F называются основаниями обобщенного цилиндра. Расстояние между плоскостями оснований называют высотой обобщенного цилиндра. В случае, если в определении обобщенного цилиндра вместо параллельной проекции берется ортогональная, т. е. прямая l перпендикулярна плоскостям α и π, то обобщенный цилиндр называется прямым. В противном случае цилиндр называется наклонным. Частным случаем обобщенного цилиндра являются цилиндр и призма.

Объем обобщенного цилиндра Теорема. Объем обобщенного цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. Следствие 1. Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т. е. имеет место формула где S – площадь основания, h – высота призмы. Следствие 2. Объем цилиндра, радиус основания которого равен R, а высота равна h и, вычисляется по формуле

Объем наклонного параллелепипеда 1 Объем наклонного параллелепипеда равен произведению площади S грани параллелепипеда на высоту h, проведенную к этой грани, т.е. имеет место формула

Объем наклонного параллелепипеда 2 Если ребро параллелепипеда равно c и образует с гранью площади S угол, то объем параллелепипеда вычисляется по формуле

Объем наклонного параллелепипеда 3 Пусть ребра параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны a, b, c. Ребра a и b образуют угол, а ребро c наклонено к плоскости ребер a и b под углом Тогда объем V параллелепипеда выражается формулой

Упражнение 1 Две противоположные грани параллелепипеда – квадраты со стороной 1. Соединяющее их ребро равно 1 и наклонено к плоскостям этих граней под углом 60 о. Найдите объем параллелепипеда. Ответ:

Упражнение 2 Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 о. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол 60 о и равно 1. Найдите объем параллелепипеда. Ответ:

Упражнение 3 Три грани параллелепипеда, имеющие общую вершину, являются ромбами со сторонами 1 и острыми углами при этой вершине 60 о. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: Решение. Площадь грани ABCD равна Высота A 1 E грани ABB 1 A 1 равна В треугольнике AEH угол A равен 30 о, AE = 0,5. Значит, EH = и, следовательно, высота A 1 H равна Таким образом, объем равен

Упражнение 4 В параллелепипеде две грани имеют площади S 1 и S 2, их общее ребро равно a, и они образуют между собой двугранный угол 150 о. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: Решение. Пусть площади граней ABCD и BCC 1 B 1 равны S 1 и S 2, ребро BC равно a. Тогда высота параллелограмма BCC 1 B 1 равна S 2 /a. Высота параллелепипеда, проведенная к грани ABCD, равна Следовательно, объем параллелепипеда равен

Упражнение 5 В параллелепипеде две грани являются прямоугольниками с площадями 20 см 2 и 24 см 2. Угол между их плоскостями равен 30 о. Еще одна грань этого параллелепипеда имеет площадь 15 см 2. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 60 см 3. Решение. Пусть площади граней ABCD и ADD 1 A 1 равны 20 см 2 и 24 см 2. Тогда площадь грани ABB 1 A 1 равна 15 см 2, а угол A 1 AB равен 30 о. Пусть AD = x. Тогда AB = 20/x, AA 1 = 24/x. Имеем равенство Откуда находим x = 4 см. Высота, проведенная к грани ABCD равна половине ребра AA 1 и равна 3 см. Следовательно, объем параллелепипеда равен 60 см 3.

Упражнение 6 Могут ли площади всех граней параллелепипеда быть меньше 1, а объем параллелепипеда быть больше 100? Ответ: Нет, объем будет меньше 1.

Упражнение 7 Могут ли площади всех граней параллелепипеда быть больше 100, а объем параллелепипеда быть меньше 1? Ответ: Да.

Упражнение 8* В пространстве даны три параллелепипеда. Как провести плоскость, чтобы она разделила каждый параллелепипед на две части равного объема? Ответ: Плоскость, проходящая через центры симметрии параллелепипедов.

Объем прямой призмы Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т. е. имеет место формула где S – площадь основания, h – высота призмы.

Упражнение 1 Найдите объем треугольной призмы, вершинами которой являются шесть вершин единичного куба. Ответ: 0,5.

Упражнение 2 Найдите объем треугольной призмы, вершинами которой являются четыре вершины единичного куба и центры двух противоположных граней. Ответ: 0,25.

Упражнение 3 Найдите объем призмы, вершинами которой являются вершины единичного куба и центры двух противоположных граней. Ответ: 0,75.

Упражнение 4 Найдите объем правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а боковое ребро 8 см. Ответ: 200 см 3.

Упражнение 5 Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания 20 см, а объем 4800 см 2. Ответ: 12 см.

Упражнение 6 Основание прямой призмы – ромб, площадь которого равна 1 м 2. Площади диагональных сечений равны 3 м 2 и 6 м 2. Найдите объем призмы. Ответ: 3 м 3.

Упражнение 7 Основание прямой призмы – параллелограмм, стороны которого равны 8 см и 5 см образуют угол в 60°. Меньшая диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол в 30°. Определите объем этой призмы. Ответ: 140 см 3.

Упражнение 8 Найдите объем правильной треугольной призмы, все ребра которой равны 1. Ответ:

Упражнение 9 Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, боковое ребро равно 10 см. Найдите объем призмы. Ответ: 60 см 3.

Упражнение 10 Найдите объем правильной треугольной призмы, вписанной цилиндр, радиус основания и высота которого равны 1. Решение. Сторона основания призмы равна Площадь основания равна Высота призмы равна 1. Следовательно, объем призмы равен

Упражнение 11 Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Решение. Сторона основания призмы равна Площадь основания равна Высота призмы равна 1. Следовательно, объем призмы равен

Упражнение 12 Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около единичной сферы. Решение. Сторона основания призмы равна Площадь основания равна Высота призмы равна 2. Следовательно, объем призмы равен

Упражнение 13 Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1. Ответ:

Упражнение 14 От единичного куба A…D 1 отсечены четыре треугольные призмы плоскостями, которые проходят через середины смежных сторон грани ABCD, параллельно ребру AA 1. Найдите объем оставшейся части. Ответ:

Упражнение 15 Объем правильной шестиугольной призмы равен V. Определите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы. Ответ:

Упражнение 16 Найдите объем правильной шестиугольной призмы, вписанной цилиндр, радиус основания и высота которого равны 1. Решение. Сторона основания призмы равна 1. Площадь основания равна Высота призмы равна 1. Следовательно, объем призмы равен

Упражнение 17 Найдите объем правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Решение. Сторона основания призмы равна Площадь основания равна Высота призмы равна 1. Следовательно, объем призмы равен

Упражнение 18 Найдите объем правильной шестиугольной призмы, описанной около единичной сферы. Решение. Сторона основания призмы равна Площадь основания равна Высота призмы равна 2. Следовательно, объем призмы равен

Упражнение 19 В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 1, боковое ребро – 2. Через сторону основания проведено сечение плоскостью под углом 30 о к этому основанию. Найдите объем части призмы, отсекаемой этой плоскостью. Решение. Искомый объем равен половине объема правильной шестиугольной призмы, сторона основания и высота которой равны 1. Следовательно, объем части призмы равен

Объем наклонной призмы 1 Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т.е. имеет место формула где S – площадь основания призмы, h – ее высота.

Объем наклонной призмы 2 Если боковое ребро призмы равно c и наклонено к плоскости основания под углом, то объем призмы вычисляется по формуле где S – площадь основания призмы.

Объем наклонной призмы 3 Если боковое ребро призмы равно c, а сечением призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру, является многоугольник площади S, то объем призмы вычисляется по формуле Действительно, если призму разрезать по сечению, и нижнюю часть параллельно перенести, поставив на верхнюю, то получим прямую призму с основанием площади S и боковым ребром c.

Упражнение 1 Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. В каком отношении эта плоскость делит объем призмы? Ответ: 1:3.

Упражнение 2 Треугольная призма пересечена плоскостью, которая проходит через боковое ребро и делит площадь противолежащей ему боковой грани в отношении m : n. В каком отношении эта плоскость делит объем призмы? Ответ: m : n.

Упражнение 3 В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней равна Q, а расстояние от нее до противоположного ребра равно d. Найдите объем призмы. Ответ: Решение. Пусть площадь грани BCC 1 B 1 равна Q. Расстояние от этой грани до прямой AA 1 равно d. Достроим призму до параллелепипеда A…D 1. Его объем равен Qd. Объем призмы составляет половину объема параллелепипеда, т.е. искомый объем равен

Упражнение 4 Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной 3. Одна из боковых граней перпендикулярна основанию и является ромбом, у которого меньшая диагональ равна 2. Найдите объем призмы. Ответ: Решение. Проведем диагональ AB 1. Имеем: AO =, площадь ромба ABB 1 A 1 равна, высота A 1 H равна Следовательно, объем призмы равен.

Упражнение 5 В наклонной треугольной призме две боковые грани перпендикулярны и имеют общее ребро, равное a. Площади этих граней равны S 1 и S 2. Найдите объем призмы. Ответ: Решение. Достроим призму до параллелепипеда A…D 1. Его объем равен Объем призмы составляет половину объема параллелепипеда, т.е. искомый объем равен

Упражнение 6 Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 см, а расстояния между ними равны 26 см, 25 см и 17 см. Найдите объем призмы. Ответ: 3060 см 3. Решение. Проведем сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру. Используя формулу Герона найдем площадь сечения. Она равна 204 см 2. Объем призмы равен 3060 см 3.

Упражнение 7 Основанием призмы является параллелограмм со сторонами 1, 2 и острым углом 30 о. Боковые ребра равны 3 и составляют с плоскостью основания угол 45 о. Найдите объем призмы. Ответ:

Упражнение 8 Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 30 о. Ответ:

Упражнение 9 Все ребра правильной шестиугольной призмы равны 1. Одна из боковых граней является прямоугольником и наклонена к плоскости основания под углом 30 о. Найдите объем призмы. Ответ:

Упражнение 10 В основаниях призмы квадраты. Верно ли, что любая плоскость, проходящая через центры квадратов, делит призму на две равновеликие части? Ответ: Да.

Объем цилиндра Объем цилиндра, высота которого равна h и радиус основания R, вычисляется по формуле V=πR 2 ·h.

Упражнение 1 Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и наклонена к плоскости основания под углом φ. Найдите объем цилиндра. Ответ:

Упражнение 2 Одна кружка вдвое выше другой, зато другая в полтора раза шире. Какая кружка вместительнее? Ответ: Та, которая шире.

Упражнение 3 В цилиндрический сосуд, диаметр которого равен 9 см, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 12 см. Чему равен объем детали? Ответ: 243 см 3.

Упражнение 4 Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник со сторонами 1 и 2. Найдите объем цилиндра. Ответ: или, в зависимости от выбора основания цилиндра.

Упражнение 5 В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Боковые ребра призмы равны 2. Найдите объем цилиндра. Ответ:

Упражнение 6 В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра призмы равны 1. Найдите объем цилиндра. Ответ: 4.

Упражнение 7 Найдите объем цилиндра, вписанного в единичный куб. Ответ:

Упражнение 8 В правильную шестиугольную призму, со стороной основания 1 и боковым ребром 2, вписан цилиндр. Найдите объем этого цилиндра. Ответ:

Упражнение 9 В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Боковые ребра равны 3. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ:

Упражнение 10 В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны 5. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ:

Упражнение 11 В основании прямой призмы квадрат со стороной 1. Боковые ребра равны 2. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ:

Упражнение 12 Во сколько раз объем цилиндра, описанного около правильной четырехугольной призмы, больше объема цилиндра, вписанного в эту же призму? Ответ: В 2 раза.

Упражнение 13 Около правильной шестиугольной призмы, со стороной основания 1, описан цилиндр. Боковые ребра призмы равны 2. Найдите объем этого цилиндра. Ответ:

Упражнение 14 Найдите объём цилиндра, зная, что скрещивающиеся рёбра правильного единичного тетраэдра являются диаметрами оснований цилиндра. Решение: Площадь основания цилиндра равна, а образующая равна расстоянию между скрещивающимися рёбрами правильного единичного тетраэдра, оно равно. Искомый объём равен.

Упражнение 15 Через точку окружности основания прямого кругового цилиндра проведена плоскость под углом φ к этому основанию. Радиус основания цилиндра равен R. Найдите объем части цилиндра, отсекаемой плоскостью. Ответ: R 3 tg.

Упражнение 16 Диаметр основания цилиндра равен 1. Образующая равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 60 о. Найдите объем цилиндра. Ответ:

Упражнение 17 Верно ли, что любая плоскость, проходящая через центры оснований кругового цилиндра, делит его на равновеликие части? Ответ: Да.

Упражнение 18 Два цилиндра имеют равные высоты, а площадь основания одного в два раза больше площади основания другого. Как относятся их объемы? Ответ: 2:1.

Упражнение 19* Какой наибольший объем может иметь цилиндр, вписанный в единичную сферу? Ответ: Решение: Обозначим x половину высоты цилиндра. Тогда радиус основания цилиндра будет равен Объем цилиндра равен Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке [0, 1] воспользуемся производной. Производная обращается в ноль в точке в которой функция принимает наибольшее значение, равное

Упражнение 20* Какой наибольший объем может иметь цилиндр, площадь осевого сечения которого равна 1? Ответ: Наибольшего объема нет. Решение: Обозначим x диаметр основания цилиндра. Тогда его высота равна Объем цилиндра равен Функция неограниченно возрастает и, следовательно, цилиндра наибольшего объема не существует.