ПРЯМОЙ ЦИЛИНДР Пусть в пространстве заданы две параллельные плоскости и. F – круг в одной из этих плоскостей, например. Рассмотрим ортогональное проектирование на плоскость. Проекцией круга F будет круг F. Фигура, образованная отрезками, соединяющими точки круга F с их ортогональными проекциями, называется прямым цилиндром, или просто цилиндром. Круги F и F называются основаниями цилиндра.

НАКЛОННЫЙ ЦИЛИНДР В случае, если вместо ортогонального проектирования берется параллельное проектирование в направлении наклонной к плоскости, то фигура, образованная отрезками, соединяющими точки круга F с их параллельными проекциями, называется наклонным цилиндром.

Боковая поверхность цилиндра Фигура, образованная отрезками, соединяющими точки окружности одного основания цилиндра с их проекциями, называется боковой поверхностью цилиндра. Сами отрезки называются образующими цилиндра. Прямая, проходящая через центры оснований цилиндра, называется осью этого цилиндра. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Расстояние между плоскостями оснований называется высотой цилиндра.

ПРЯМОЙ И НАКЛОННЫЙ КОНУС Пусть в пространстве задана плоскость и точка S, ей не принадлежащая. F – круг в плоскости. Фигура, образованная отрезками, соединяющими точку S c точками круга F, называется конусом. Круг F называется основанием конуса, а точка S – вершиной конуса. В случае, если отрезок, соединяющий вершину конуса с центром основания, перпендикулярен плоскости основания, то конус называется прямым. В противном случае он называется наклонным.

Боковая поверхность конуса Фигура, образованная отрезками, соединяющими вершину конуса с точками окружности его основания, называется боковой поверхностью конуса. Сами отрезки называются образующими конуса. Прямая, проходящая через вершину и центр основания конуса, называется осью этого конуса. Сечение конуса плоскостью, проходящей через ось, называется осевым сечением. Расстояние от вершины конуса до плоскости его основания называется высотой конуса.

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС Если конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, то его часть, заключенная между этой плоскостью и основанием, называется усеченным конусом. Само сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, называется также основанием усеченного конуса. Высотой усеченного конуса называется расстояние между плоскостями его оснований.

Упражнение 1 Сколько образующих имеет цилиндр? Ответ: Бесконечно много.

Упражнение 2 Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям? Ответ: Круг, равный основаниям.

Упражнение 3 Какой фигурой является осевое сечение: а) прямого цилиндра; б) наклонного цилиндра? Ответ: а) Прямоугольником;б) параллелограммом.

Упражнение 4 Какой фигурой является сечение плоскостью: а) прямого цилиндра; б) наклонного цилиндра, параллельной оси цилиндра? Ответ: а) Прямоугольником;б) параллелограммом.

Упражнение 5 Радиус основания цилиндра равен 2 м, высота - 3 м. Найдите диагональ осевого сечения. Ответ: 5 м.

Упражнение 6 Осевым сечением цилиндра является квадрат, площадь которого равна 4. Найдите радиус основания цилиндра. Ответ: 1.

Упражнение 7 Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси. Ответ: 3 дм.

Упражнение 8 Найдите геометрическое место точек цилиндра, равноудаленных от: а) образующих; б) оснований. Ответ: а) Ось цилиндра; б) круг, лежащий в плоскости, параллельной основаниям и проходящей через середину оси цилиндра.

Упражнение 9 Два цилиндра имеют две общие образующие. Какая фигура получится при пересечении этих цилиндров плоскостью, перпендикулярной их осям? Ответ: Два пересекающихся круга.

Упражнение 10 Какой фигурой является сечение конуса плоскостью, параллельной основанию? Ответ: Кругом.

Упражнение 11 Какой фигурой является осевое сечение: а) прямого конуса; б) наклонного конуса? Ответ: а) равнобедренным треугольником; б) треугольником.

Упражнение 12 Радиус основания конуса равен 4 см. Осевым сечением служит прямоугольный треугольник. Найдите его площадь. Ответ: 16 см 2.

Упражнение 13 Высота конуса 1. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость параллельно основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания? Ответ:

Упражнение 14 Высота конуса равна 8 м, радиус основания - 6 м. Найдите образующую конуса. Ответ: 10 м.

Упражнение 15 Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник со стороной 10 см. Найдите радиус основания и высоту конуса. Ответ: 5 см, см.

Упражнение 16 Высота конуса равна радиусу основания. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса. Ответ: 90 о.

Упражнение 17 Образующая конуса равна 6 м и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь основания конуса. Ответ: 9 м 2.

Упражнение 18 Найдите геометрическое место точек конуса, равноудаленных от всех его образующих. Ответ: Высота конуса.

Упражнение 19 Определите понятия прямого и наклонного усеченных конусов. Ответ: Усеченный конус называется прямым или наклонным, если он получен усечением прямого или наклонного конуса соответственно.

Упражнение 20 Какая фигура является осевым сечением : а) прямого усеченного конуса; б) наклонного усеченного конуса? Ответ: а) Равнобедренная трапеция; б) трапеция.

Упражнение 21 Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 см и 6 см, образующая – 5 см. Найдите высоту усеченного конуса. Ответ: 4 см.