Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Параллельность прямых Для отношения параллельности прямых в пространстве имеет место следующее свойство транзитивности: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Ответ: Нет. Всегда ли две не пересекающиеся прямые в пространстве параллельны? Упражнение 1

Ответ: Одну. Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые? Упражнение 2

Ответ: Нет. Известно, что в плоскости прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую прямую. Будет ли это утверждение верно для пространства? Упражнение 3

Ответ: Плоскость. Найдите геометрическое место (ГМ) прямых, пересекающих две данные параллельные прямые. Упражнение 4

Ответ: A 1 B 1 ; CD; C 1 D 1. Назовите прямые, проходящие через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и параллельные прямой AB. Упражнение 5

Доказательство: Прямые AB и C 1 D 1 параллельны прямой CD, так как грани ABCD и CDD 1 C 1 – квадраты. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и C 1 D 1 параллельны. Докажите, что прямые AB и C 1 D 1, проходящие через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, параллельны. Упражнение 6

Доказательство: Прямые AB и C 1 D 1 параллельны (упражнение 6). Следовательно, четырехугольник ABC 1 D 1 – параллелограмм (противоположные стороны AB и C 1 D 1 равны и параллельны). Значит, прямые AD 1 и BC 1 параллельны. Докажите, что прямые AD 1 и BC 1, проходящие через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, параллельны. Упражнение 7

Ответ: Нет. Являются ли параллельными прямые AB и CC 1, проходящие через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ? Упражнение 8

Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Решение: Каждое ребро участвует в трех парах параллельных прямых. У куба имеется 12 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно Упражнение 9

Являются ли параллельными прямые AB и CD, проходящие через вершины тетраэдра ABCD? Ответ: Нет. Упражнение 10

Ответ: BB 1, CC 1. Упражнение 11 Назовите прямые, проходящие через вершины треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 и параллельные прямой A 1 B 1.

Решение: Каждое ребро оснований участвует в одной паре параллельных прямых. Каждое боковое ребро участвует в двух парах параллельных прямых. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно Ответ: Упражнение 12 Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра правильной треугольной призмы?

Ответ: BB 1 ; CC 1 ; DD 1 ; EE 1 ; FF 1. Назовите прямые, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельные прямой AA 1. Упражнение 13

Доказательство: Прямые AA 1 и CC 1 параллельны прямой BB 1, так как грани ABB 1 A 1 и BCC 1 B 1 – прямоугольники. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AA 1 и CC 1 параллельны. Докажите, что прямые AA 1 и CC 1, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельны. Упражнение 14

Доказательство: Прямые AA 1 и CC 1 параллельны (задача 14). Прямые CC 1 и DD 1 параллельны, так как грань СDD 1 C 1 – прямоугольник. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AA 1 и DD 1 параллельны. Докажите, что прямые AA 1 и DD 1, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельны. Упражнение 15

Ответ: A 1 B 1 ; DE; D 1 E 1 ; CF; C 1 F 1. Назовите прямые, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельные прямой AB. Упражнение 16

Доказательство: Прямые AB и DE параллельны, так как грань ABCDEF – правильный шестиугольник. Прямые D 1 E 1 и DE параллельны, так как грань DEE 1 D 1 – прямоугольник. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и D 1 E 1 параллельны. Докажите, что прямые AB и D 1 E 1, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельны. Упражнение 17

Доказательство: Прямые AB и A 1 B 1 параллельны, так как грань ABB 1 A 1 – прямоугольник. Прямые C 1 F 1 и A 1 B 1 параллельны, так как грань A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 – правильный шестиугольник. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и C 1 F 1 параллельны. Докажите, что прямые AB и C 1 F 1, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельны. Упражнение 18

Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра правильной шестиугольной призмы. Ответ: Решение: Каждое ребро оснований участвует в трех парах параллельных прямых. Каждое боковое ребро участвует в пяти парах параллельных прямых. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно Упражнение 19

Назовите прямые, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельные прямой AA 2. Ответ. BB 1, CC 1, DD 2, A 1 B 2, D 1 C 2. Упражнение 20

Докажите, что прямые AA 2 и CC 1, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны. Доказательство: Прямые AA 2 и CC 1 параллельны прямой BB 1. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AA 2 и CC 1 параллельны. Упражнение 21

Докажите, что прямые AA 2 и D 1 C 2, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны. Доказательство: Прямые AA 2 и D 1 C 2 параллельны прямой DD 2. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AA 2 и D 1 C 2 параллельны. Упражнение 22

Докажите, что прямые AD и B 1 C 1, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны. Доказательство: Прямые AD и B 1 C 1 параллельны прямой BC. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AD и B 1 C 1 параллельны. Упражнение 23

Назовите прямые, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельные прямой AB. Ответ. DC, A 1 A 2, B 1 B 2, D 1 D 2, C 1 C 2, A 3 B 3, C 3 D 3. Упражнение 24

Докажите, что прямые AB и C 1 C 2, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны. Доказательство: Прямые AB и C 1 C 2 параллельны прямой CD. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и C 1 C 2 параллельны. Упражнение 25

Докажите, что прямые AB и C 3 D 3, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны. Доказательство: Прямые AB и C 3 D 3 параллельны прямой CD. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и C 3 D 3 параллельны. Упражнение 26

Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра октаэдра. Решение: Для каждого ребра имеется только одно ребро, ему параллельное. У октаэдра 12 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно Упражнение 27*

Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра икосаэдра. Решение: Для каждого ребра имеется только одно ребро, ему параллельное. У икосаэдра 30 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно Упражнение 28*

Сколько имеется пар параллельных прямых, содержащих ребра додекаэдра. Решение: Для каждого ребра имеется только одно ребро, ему параллельное. У додекаэдра 30 ребер. Следовательно, искомое число пар параллельных прямых равно Упражнение 29*

В пространстве даны n параллельных между собой прямых. Сколько плоскостей можно провести через различные пары этих прямых, если известно, что никакие три из них не лежат в одной плоскости? Упражнение 30* Ответ: