Представление ( кодирование ) чисел Представление ( кодирование ) чисел

Двоичное кодирование в компьютере Вся информация, которую обрабатывает компьютер должна быть представлена двоичным кодом с помощью двух цифр : 0 и 1. Эти два символа принято называть двоичными цифрами или битами. С помощью двух цифр 0 и 1 можно закодировать любое сообщение. Это явилось причиной того, что в компьютере обязательно должно быть организованно два важных процесса : кодирование и декодирование. Кодирование – преобразование входной информации в форму, воспринимаемую компьютером, т. е. двоичный код. Декодирование – преобразование данных из двоичного кода в форму, понятную человеку. Привет !

Почему двоичное кодирование С точки зрения технической реализации использование двоичной системы счисления для кодирования информации оказалось намного более простым, чем применение других способов. Действительно, удобно кодировать информацию в виде последовательности нулей и единиц, если представить эти значения как два возможных устойчивых состояния электронного элемента : 0 – отсутствие электрического сигнала ; 1 – наличие электрического сигнала. Эти состояния легко различать. Недостаток двоичного кодирования – длинные коды. Но в технике легче иметь дело с большим количеством простых элементов, чем с небольшим числом сложных. Способы кодирования и декодирования информации в компьютере, в первую очередь, зависит от вида информации, а именно, что должно кодироваться : числа, текст, графические изображения или звук.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Позиционная система счисления Майя Все системы счисления делятся на две группы : непозиционные и позиционные Древнерусская непозиционная система счисления Древнеегипетская непозиционная система счисления Арабская позиционная система счисления

Виды систем счисления СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПОЗИЦИОННЫЕНЕПОЗИЦИОННЫЕ В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. XXI В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её положения в числе ( позиции ). 211

Непозиционные системы счисления

ЕДИНИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких - либо значков ( бирок ): зарубок, черточек, точек. Позже значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной ( унарной ), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня ( счетные палочки для обучения счету ; полоски, нашитые на рукаве, означают на каком курсе учится курсант военного училища ). Отображение количества предметов узелками

ДРЕВНЕЕГИПЕТСКАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т. д. использовались специальные значки иероглифы. Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем ряду должно быть столько же палочек, сколько и в верхнем, или на одну больше. Если десятков, единиц, или какого - то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной.

РИМСКАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ В основе римской системы счисления лежали знаки I ( один палец ) для числа 1, V ( раскрытая ладонь ) для числа 5, Х ( две сложенные ладони ) для 10. Число обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа, то прибавляется. Например, число 1794 будет записано так : Календарь на каменной плите, найденный в Риме Для обозначения чисел 100, 500 и 1000 применяются первые буквы соответствующих латинских слов (Centum - сто, Demimille - половина тысячи, Mille - тысяча ).

ГРЕЧЕСКАЯ АЛФАВИТНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Для обозначения чисел 10, 20, …, 90 применялись следующие 9 букв (ι, κ, λ,…). Для обозначения чисел 100, 200, …, 900 – последние 9 букв (ρ, σ, τ,…). Чтобы не путать числа с буквами, над ними ставили черточку. Например, число 141 обозначалось ρμα. Для обозначения тысяч греки использовали те же буквы, но при их записи слева внизу ставили косую черточку. Число греки называли мириадой. Таким способом греки могли записать числа до 108. Это число называлось мириада мириад. Это самое больше число которое называли и записывали греки. В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1, 2, …, 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита ( α, β, γ, …).

СЛАВЯНСКАЯ АЛФАВИТНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Над буквами, обозначающими числа, ставился специальный знак «~» - титло. Самая высшая из величин называлась « колода » (10 50 ). Считалось, что « боле сего несть человеческому уму разумевати ». В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах. Древнерусская алфавитная система счисления, использующая кириллицу У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, который использовал сначала глаголицу, а затем кириллицу.

НЕДОСТАТКИ НЕПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ 1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел 2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа. 3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Позиционные системы счисления

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В позиционных системах счисления количественный эквивалент ( значение ) цифры зависит от её места ( позиции ) в записи числа. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. Основанием позиционной системы счисления называется целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении её в младший или старший разряд.

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе : это число 123 в десятичной системе счисления ; то же число, но в двоичной системе. Двоичное число можно расписать в виде : = 1* * * * * * *2 0.

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОСНОВАНИЕМ Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием q (q- ичная система счисления ) числа в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, …, q -1. или A q – число в q - ичной системе счисления, q – основание системы счисления, A i – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления, n – число целых разрядов числа, m – число дробных разрядов числа. Коэффициенты a i - цифры числа, записанного в q - ичной системе счисления. Свернутая форма записи числа : Свернутой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни, её называют естественной или цифровой. Для записи дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания.

Алфавит десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления Система счисленияОснованиеАлфавит цифр Десятичная100, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Двоичная20, 1 Восьмеричная80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Шестнадцатеричная160, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Соответствие десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления p= p= p= p= p= p= p= p=16 89ABCDEF10

ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Основание : q = 10. Алфавит : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Свернутая форма записи числа : Развернутая форма записи числа : Коэффициенты a i - цифры десятичного числа. Например, число 123,45 10 в развернутой форме будет записываться следующим образом : Умножение или деление десятичного числа на 10 ( величину основания ) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например : 123,45 10 · 10 = 1234,5 10 ; 123,45 10 : 10 = 12,

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Основание : q = 2. Алфавит : 0, 1. Свернутая форма записи числа : Развернутая форма записи числа : Коэффициенты a i - цифры двоичного числа (0 или 1). Например, число 101,01 2 в развернутой форме будет записываться следующим образом : Умножение или деление двоичного числа на 2 ( величину основания ) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например : 101,01 2 · 2 = 1010,1 2 ; 101,01 2 : 2 = 10,101 2.

ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Основание : q = 8. Алфавит : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Свернутая форма записи числа : Развернутая форма записи числа : Коэффициенты a i - цифры восьмеричного числа. Например, число 123,67 8 в развернутой форме будет записываться следующим образом : Умножение или деление восьмеричного числа на 8 ( величину основания ) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например : 123,67 8 · 8 = 1236,7 8 ; 123,67 8 : 8 = 12,367 8.

ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Основание : q = 16. Алфавит : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Свернутая форма записи числа : Развернутая форма записи числа : Коэффициенты a i - цифры шестнадцатеричного числа. Например, число 2BC,DE 16 в развернутой форме будет записываться следующим образом : Умножение или деление шестнадцатеричного числа на 16 ( величину основания ) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например : 2BC,DE 16 · 16 = 2BCD,E 16 ; 2BC,DE 16 : 16 = 2B,CDE 16.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную Чтобы перевести число из позиционной системы счисления с основанием p в десятичную, надо представить это число в виде суммы степеней p и произвести указанные вычисления в десятичной системе счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную Например, переведем число в десятичную систему счисления. Для этого представим это число в виде степеней двойки и произведем вычисления в десятичной системе счисления = 1* * * *2 0 = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = = 11 10

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную Рассмотрим еще один пример. Переведем число 52,74 8 в десятичную систему счисления. 52,74 8 = 5* * * *8 -2 = 5*8 + 2*1 + 7*1/8 +4*1/49 = , ,0625 = 42,

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую Перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием p осуществляется последовательным делением десятичного числа и его десятичных частных на p, а затем выписыванием последнего частного и остатков в обратном порядке.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую Переведем десятичное число в двоичную систем счисления ( основание системы счисления p=2). В итоге получили =

? Какое количество компьютеров вы видите ? Ответ дайте в двоичной, восьмеричной и десятичной системах счисления.

?

?

Задания : Прочитайте стихотворение. Переведите встречающиеся в нем числительные из двоичной системы счисления в десятичную. Необыкновенная девчонка ( А. Н. Стариков ) Ей было тысяча сто лет, Она в 101- ый класс ходила, В портфеле по сто книг носила – Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий. Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали. И десять темно - синих глаз Рассматривали мир привычно,… Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ.

Вопросы : У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли быть такое ? Когда дважды два равно 100?

Задания : Запишите число 1945 в римской системе счисления. Запишите в развернутом виде числа : , Чему будут равны числа 174 8, 2E 16, в десятичной системе счисления ? Как будет записываться число в двоичной системе счисления ? в восьмеричной ?

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную ( шестнадцатеричную ), нужно разбить его на триады ( тетрады ), начиная с правого края и заменить триады ( тетрады ) на эквивалент по таблице

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную Например Перевести число из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в двоичную Чтобы перевести число из восьмеричной ( шестнадцатеричной ) системы счисления в двоичную, нужно каждую цифру заменить на триаду ( тетраду из таблицы ) Например Перевести число из восьмеричной в двоичную. Перевести число A29 16 из шестнадцатеричной в двоичную Решение = A29 16=

Примеры Перевести числа из двоичной в 8- ричную и 16- ричную системы

ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА Сложение двоичных чисел. Способ сложения столбиком в общем - то такой же как и для десятичного числа. То есть, сложение выполняется поразрядно, начиная с младшей цифры. Если при сложении двух цифр получается СУММА больше девяти, то записывается цифра = СУММА - 10, а единица, добавляется в старшему разряду. ( Сложите пару чисел столбиком вспомните как это делается.)

ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА Так и с двоичным числом. Складываем поразрядно, начиная с младшей цифры. Если получается больше 1, то 1 добавляется к старшему разряду ( говорят " на ум пошло ").

ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА Выполним пример : Первый разряд : 1+1 = 2. Записываем 0 и 1 на ум пошло. Второй разряд : 1+0+1( запомненная единица ) =2. Записываем 0 и 1 на ум пошло. Третий разряд : 0+0+1( запомненная единица ) = 1. Записываем 1. Четвертый разряд 0+0=0. Записываем 0. Пятый разряд 1+1=2. Записываем 0 и добавляем к шестым разрядом 1.

ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА Выполним пример : Переведём все три числа в десятичную систему и проверим правильность сложения = 1* * * * *2 0 = = = 1* * * * *2 0 = = = 1* * * * * *2 0 =32+4= = 36 верное равенство

ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА Примеры для самостоятельного решения : а ) = б ) = в ) = г ) = д ) = е ) =

ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА Вычитание двоичных чисел. Вычитать числа, будем также столбиком и общее правило то же, что и для десятичных чисел, вычитание выполняется поразрядно и если в разряде не хватает, то единица занимается в старшем.

ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА Первый разряд =1. Записываем 1. Второй разряд Не хватает единицы. Занимаем её в старшем разряде. Единица из старшего разряда переходит в младший, как две единицы ( потому что старший разряд представляется двойкой большей степени ) 2-1 =1. Записываем 1. Третий разряд. Единицу этого разряда мы занимали, поэтому сейчас в разряде 0 и есть необходимость занять единицу старшего разряда. 2-1 =1. Записываем 1. Проверим результат в десятичной системе = = 7 (111) Верное равенство