Здравствуйте! На этом уроке мы продолжим изучать рациональные уравнения. § 21. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Цели нашего урока: повторить алгоритм решения рациональных уравнений; рассмотреть решение рациональных уравнений различного уровня сложности, а так же биквадратные уравнения и уравнения, решаемые с помощью замены переменной; развивать умение решать рациональные уравнения. Здравствуйте! На этом уроке мы продолжим изучать рациональные уравнения. § 21. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Цели нашего урока: повторить алгоритм решения рациональных уравнений; рассмотреть решение рациональных уравнений различного уровня сложности, а так же биквадратные уравнения и уравнения, решаемые с помощью замены переменной; развивать умение решать рациональные уравнения.

Для лучшего усвоения темы вам необходимо повторить предыдущий материал. I. Самостоятельная работа. (письменно) Решить уравнения в тетради: а) б) Для лучшего усвоения темы вам необходимо повторить предыдущий материал. I. Самостоятельная работа. (письменно) Решить уравнения в тетради: а) б)

Проверь себя: 1)2х 2 -17х=0, х 1 =0, х 2 = 8,5 2) Проверь себя: 1)2х 2 -17х=0, х 1 =0, х 2 = 8,5 2), х 0, х =

Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной. Метод введения новой переменной вам знаком, мы не раз им пользовались. Рассмотрим на примерах, как он применяется при решении рациональных уравнений. Пример: Решить уравнение х 4 + х = 0.

Решение: Введем новую переменную у = х 2. Так как х 4 =(х 2 ) 2 =у 2, то заданное уравнение можно переписать в виде у 2 + у-20 = 0 Мы получили квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы, получим у 1 = 4, у 2 = -5. Так как у = х 2, значит, задача свелась к решению двух уравнений: х 2 = 4, х 2 = - 5 Из первого уравнения находим х 1,2 = ± 2, второе уравнение не имеет корней. Ответ: 2

Определение: (записать в тетрадь) Уравнение вида ах 4 + вх 2 + с = 0 называют биквадратным уравнением («би» - два, т.е. дважды квадратное уравнение) Только что решенное уравнение было именно биквадратным. Алгоритм решения биквадратных уравнений (записать в тетрадь) Любое биквадратное уравнение решается так же, как уравнение из примера: 1.вводят новую переменную у = х 2 ; 2.решают полученное квадратное уравнение относительно переменной у; 3.возвращаются к переменной х.

Пример 1. Решить уравнение Решение: Заметим, что здесь дважды встречается одно и то же выражение х 2 + З х. Значит, имеет смысл ввести новую переменную у = х 2 + З х. Это позволит переписать уравнение в более простом и приятном виде (что, собственно говоря, и составляет цель введения новой переменной и запись упрощается, и структура уравнения становится более ясной):

А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального уравнения. 1) Перенесем все члены уравнения в одну часть: 2) Преобразуем левую часть уравнения Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду

3) Из уравнения - 7у у -4=0 находим у 1 = 4, у 2 = (мы с вами уже решили довольно много квадратных уравнений, так что всегда приводить в учебнике подробные выкладки, наверное, не стоит). 4)Выполним проверку найденных корней с помощью условия (у - 3) (у + 1)0. Оба корня этому условию удовлетворяют. Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной у решено: у 1 = 4, у 2 = Поскольку у = х 2 + Зх, а переменная у, как мы установили, принимает два значения: Н ам еще предстоит решить два уравнения: х 2 + Зх = 4; Корнями первого уравнения являются числа 1 и -4, корнями второго уравнения – числа: Ответ: -4; 1; 5) х 2 + Зх =

Пример 2. Решить уравнение х(х-1)(х-2)(х-3) = 24. Решение: Имеем х(х-3)=х 2 -3х (х-1)(х-2) = х 2 -3х+2 Значит, заданное уравнение можно переписать в виде (х 2 -Зх)(х 2 -Зх + 2)=24. Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х 2 - Зх С её помощью уравнение можно переписать в виде: у (у + 2) = 24 Далее у 2 + 2у - 24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа: 4 и -6. Возвращаясь к исходной переменной х, получаем два уравнения: х 2 - З = 4 и х 2 - Зх = - 6 Из первого уравнения находим: х 1 = 4, х 2 = - 1; второе уравнение корней не имеет. Ответ: 4, 1.

Закрепление нового материала. 1) Решить уравнения в рабочей тетради: б) в) 2х - 5 = г) х 4 -10х = 0 а)

Проверь себя: а) х 1 = 4, х 2 = - 4; б) х = 1; в) х 0, Д=121, х 1 = 4, х 2 = - 1,5; г) х 2 = t, t 0, t 2 -10t +9=0, Д=64, t 1 = 9, t 2 =1, х 1 = 3, х 2 = 1; (-3, -1 – посторонние корни)