ОБЪЕМ ФИГУР В ПРОСТРАНСТВЕ Объем – величина, аналогичная площади и сопоставляющая фигурам в пространстве неотрицательные действительные числа. За единицу объема принимается куб, ребро которого равно единице измерения длины. Для объемов пространственных фигур справедливы свойства, аналогичные свойствам площадей плоских фигур, а именно: 1. Объем фигуры в пространстве является неотрицательным числом. 2. Равные фигуры имеют равные объемы. 3. Если фигура Ф составлена из двух неперекрывающихся фигур Ф 1 и Ф 2, то объем фигуры Ф равен сумме объемов фигур Ф 1 и Ф 2, т.е. V(Ф)=V(Ф 1 )+V(Ф 2 ). Две фигуры, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

Объем прямой призмы Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, т. е. имеет место формула Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т. е. имеет место формула где a, b, c – ребра параллелепипеда. где S – площадь основания, h – высота призмы.

Объем цилиндра и шара Объем цилиндра, высота которого равна h и радиус основания R, выражается формулой Объем шара радиуса R выражается формулой

Упражнение 1 Как относятся объемы двух кубов: данного и его модели, уменьшенной в масштабе: а) 1 : 2; б) 1 : 3; в) 1 : n? Ответ: а) 1 : 8;б) 1 : 27;в) 1 : n 3.

Упражнение 2 Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем. Ответ: 8.

Упражнение 3 Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см 3. Определите ребро куба. Ответ: 3 см.

Упражнение 4 Как изменится объем прямого параллелепипеда, если: а) одно из его измерений увеличить в 2 раза, в 3 раза, в n раз; б) если два его измерения увеличить, причем каждое из них в 2, 3, n раз; в) если все три его измерения увеличить в 2, 3, n раз? Ответ: а) Увеличится в 2 раза, в 3 раза, в n раз; б) увеличится в 4 раза, в 9 раза, в n 2 раз; в) увеличится в 8 раз, в 27 раз, в n 3 раз.

Упражнение 5 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 3. Каким должно быть третье ребро, выходящее из той же вершины, чтобы объем этого параллелепипеда равнялся 30? Ответ: 5.

Упражнение 6 Основанием аквариума является прямоугольник со сторонами 40 см и 50 см. Уровень воды в нем находится на высоте 80 см. Эту воду перелили в другой аквариум, основанием которого является прямоугольник со сторонами 80 см и 100 см. На какой высоте будет находиться уровень воды? Ответ: 20 см.

Упражнение 7 Сколько коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размерами 30х40х50 (см) можно поместить в кузов машины размерами 2х3х1,5 (м)? Ответ: 150.

Упражнение 8 Чему равен объем пространственного креста, если ребра образующих его кубов равны единице? Ответ: 7.

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Решение 1. Многогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов, объемы которых равны 2 и 4. Следовательно, объем многогранника равен 6. Ответ. 6. Решение 2. Многогранник получается из куба, объем которого равен 8, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 2. Следовательно, объем многогранника равен 6. Упражнение 9

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Решение 1. Многогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов, объемы которых равны 2 и 4. Следовательно, объем многогранника равен 6. Ответ. 6. Решение 2. Многогранник получается из куба, объем которого равен 8, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 2. Следовательно, объем многогранника равен 6. Упражнение 10

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Решение 1. Многогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов, объемы которых равны 2 и 4. Следовательно, объем многогранника равен 6. Ответ. 6. Решение 2. Многогранник получается из куба, объем которого равен 8, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 2. Следовательно, объем многогранника равен 6. Упражнение 11

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 10. Решение. Многогранник составлен из двух прямоугольных параллелепипедов, объемы которых равны 9 и 1. Следовательно, объем многогранника равен 10. Упражнение 12

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 7. Решение. Многогранник получается из куба, объем которого равен 8, вырезанием куба, объем которого равен 1. Следовательно, объем многогранника равен 7. Упражнение 13

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 48. Решение. Многогранник получается из прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 48, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 8. Следовательно, объем многогранника равен 40. Упражнение 14

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 12. Упражнение 15

Упражнение 16 Дан куб с ребром 3 см. В каждой грани проделано сквозное квадратное отверстие со стороной 1 см. Найдите объем оставшейся части. Ответ: 20 см 3.

Упражнение 17 Найдите объем правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой 5 см и высота 8 см. Ответ: 200 см 3.

Упражнение 18 Найдите высоту правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания 20 см и объем 4800 см 3. Ответ: 12 см.

Упражнение 19 Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите объем данной призмы. Ответ: 60 см 3.

Упражнение 20 Найдите объем правильной 6-угольной призмы, высота которой равна h, а сторона основания равна a. Ответ:

Упражнение 21 Объем правильной шестиугольной призмы равен V. Определите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы. Ответ:

Упражнение 22 Найдите объем общей части (пересечения) двух единичных кубов, вершина одного из которых расположена в центре другого, как показано на рисунке. Ответ: 1/8

Упражнение 23 Найдите объем фигуры, составленной из двух единичных кубов, две вершины одного из которых расположены в центрах граней другого. Ответ: 1,75.

Упражнение 24 Осевое сечение прямого кругового цилиндра - квадрат со стороной 1 см. Найдите объем цилиндра. Ответ: см 3.

Упражнение 25 Одна кружка вдвое выше другой, зато другая в полтора раза шире. Какая кружка вместительнее? Ответ: Та, которая шире.

Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке, если объем всего цилиндра равен 8. Ответ. 2. Упражнение 26

Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке, если объем всего цилиндра равен 12. Ответ. 9. Упражнение 27

Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке, если объем всего цилиндра равен 12. Ответ. 2. Упражнение 28

Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке, если объем всего цилиндра равен 9. Ответ. 7,5. Упражнение 29

Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке, если объем всего цилиндра равен 4. Ответ. 3. Упражнение 30

Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке, если объем всего цилиндра равен 8. Ответ. 6. Упражнение 31

Упражнение 32 Площадь боковой поверхности и объем цилиндра выражаются одним и тем же числом. Найдите диаметр основания цилиндра. Ответ: 4.

Упражнение 33 Во сколько раз объем цилиндра, описанного около правильной четырехугольной призмы, больше объема цилиндра, вписанного в эту же призму? Ответ: В 2 раза.

Упражнение 34 В цилиндрический сосуд, диаметр которого равен 9 см, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 12 см. Чему равен объем детали? Ответ: 243 см 3.

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого? Ответ. 2 см. Упражнение 35

Упражнение 36 Объём шара равен 288 дм 3. Найдите площадь его поверхности. Ответ: 144 дм 2.

Упражнение 37 Около шара описан цилиндр. Найдите отношение их площадей поверхностей и объемов. Ответ: 2:3; 2:3.

Упражнение 38 Вишня имеет форму шара. Диаметр косточки равен толщине мякоти. Во сколько раз объем мякоти больше объема косточки? Решение. Диаметр вишни в три раза больше диаметра косточки. Следовательно, объем вишни в 27 раз больше объема косточки. Значит, объем мякоти в 26 раз болше объема косточки.

Упражнение 39 Решение. На первом шаге вырезается пространственный крест, состоящий из семи кубиков, объемом 7/27. На каждом следующем шаге число вырезаемых пространственных крестов увеличивается в 20 раз, а объем каждого из них уменьшается в 27 раз. Таким образом, общий объем вырезаемых пространственных представляет собой сумму геометрической прогрессии с начальном членом 7/27 и знаменателем 20/27. Одним из пространственных аналогов ковра Серпинского является губка Менгера. Она получается, если из куб разбить на 27 кубиков, вырезать центральный кубик и еще 6 кубиков, прилегающих к его граням. Затем повторить эту операцию к оставшимся кубикам и т.д. Найдите ее объем, считая исходный куб единичным. По формуле суммы геометрической прогрессии находим, что это число равно единице. Следовательно, объем губки Менгера равнен нулю.