ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ. Учебно-методическое пособие для школьников Учитель-репетитор Екатерина Васильевна Карпенко 1.Определение процента (стр.2). 2. Определение инфляции(стр. 12) 3.Формула сложных процентов(стр.15)

. Определение 1 · Одна сотая доля числа a называется одним процентом от числа a; · k сотых долей числа a называются k процентами от числа a; · Число a называется базой для нахождения процентов. По определению 1, k % от числа a : k%==

Пример 1. Даны два числа a и b. Сколько процентов составляет число b от числа a? Решение. Заметим, что в примере 1 базой для нахождения процентов является число a, и предположим, что число b составляет x % от числа a. По формуле(1)

Пример 2. Число увеличилось в 3,7 раза. На сколько процентов увеличилось это число? Решение. Обозначим рассматриваемое число буквой a. При увеличении числа в 3,7 раза (т.е. умножении на 3,7) число a увеличивается на число b, причем b = 3,7a - a = 2,7a. По формуле (2) Ответ. Число a увеличилось на 270 %.

Число уменьшилось в 2,5 раза. На сколько процентов уменьшилось это число? – Решение. Обозначим рассматриваемое число буквой a. При уменьшении числа в 2,5 раза (т.е. делении на 2,5) число a уменьшается на число b, причем Ответ. Число a уменьшилось на 60 %. Пример 3.

Пример 4. Число увеличилось на 5%. Во сколько раз увеличилось это число? Решение. Обозначим рассматриваемое число буквой c, а буквой d число c, увеличенное на 5%. Воспользовавшись формулой (1), получаем d = c + 0,05. c =1,05. c. Ответ. Число увеличилось в 1,05 раза.

Пример 5. Число d на 15% меньше числа c. Какую часть составляет число d от числа c? Решение. Важно отметить, что в рассматриваемом примере базой для нахождения процентов является число c. В соответствии с формулой (1) d = c - 0,15. c = 0,85. c. Ответ. Число d составляет 0,85 числа c.

Пример 6. Налог на добавленную стоимость (НДС) равняется 18% цены товара. Найти цену товара, если товар с учетом НДС стоит 1652 руб. Решение. Обозначим цену товара без учета НДС буквой а. Стоимость товара с учетом НДС составляет 100% +18%=118% от a. Следовательно, Ответ. Цена товара без учета НДС равна 1400 руб.

В течение первого месяца цена товара увеличилась на 30%, а в течение следующего месяца новая цена товара уменьшилась на 10%. На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара за 2 месяца? Решение. Обозначим первоначальную цену товара буквой a. Поступая по аналогии с решением примера 4, получаем, что по истечении первого месяца цена товара стала равной 1,3·a. По условию задачи за второй месяц новая цена товара, равная 1,3·a (база), уменьшилась на 10% и стала равной 1,3. a. 0,9 =1,17. a. Ответ. Первоначальная цена товара за 2 месяца увеличилась на 17%. Пример 7.

Пример 8. В течение месяца цена товара увеличилась на 25%, а в течение следующего месяца цена товара возвратилась до первоначального уровня. На сколько процентов уменьшилась новая цена товара? Решение. Обозначим первоначальную цену товара буквой с.Поступая по аналогии с решением примера 4, получаем, что по истечении месяца новая цена товара стала равной 1,25·c. Следовательно, для того, чтобы вернуться к первоначальному уровню c, новая цена товара, равная 1,25·c (база), должна уменьшиться на число 0,25·c. Для завершения решения примера остается определить, сколько процентов составляет число 0,25·c от числа 1,25·c. Воспользовавшись формулой(1), получаем Ответ. Новая цена товара уменьшилась на 20%.

Банковский вклад, не тронутый в течение года, в конце этого года увеличивается на 10%. На сколько процентов увеличится вклад, не тронутый в течение трех лет? Решение. Обозначим первоначальную сумму вклада буквой a. Действуя по аналогии с решением примера 4, получаем, что по истечении первого года вклад станет равным 1,1·a. По истечении второго года вклад станет равным 1,1·a·1,1=1,21·a, а по истечении третьего года вклад станет равным 1,21·a·1,1=1,331·a. Таким образом, вклад, не тронутый в течение трех лет, увели- чивается на число b, равное 0,331·a. В соответствии с формулой (1) первоначальная сумма вклада увеличивается на Ответ. Вклад увеличится на 33,1 %. Пример 9.

Определение 2. Месячным темпом инфляции называется такое количество процентов, на которое возрастают цены товаров за месяц, по сравнению с предыдущим месяцем.

Месячный темп инфляции равен 5%. На сколько процентов возрастают цены за год? Решение. Обозначим цену товара в первый день года буквой c. В соответствии с решением примера 4 через месяц после начала года цена товара будет равна 1,05·с. Через два месяца после начала года цена товара будет равна 1,05. c.1,05 =1,05 2. c. Еще через месяц (т.е. через три месяца после начала года) цена товара будет равна1,052.1,05. c =1,05 3. c, и т.д. Таким образом, через n месяцев после начала года цена товара станет равной Ответ. Цены вырастают за год на 79,59%. Пример 10.

Формула сложных процентов. Если на вклад положена сумма a денежных единиц, и банк начисляет р% годовых, то через n лет сумма на вкладе составит денежных единиц, или a(1+0,01p) n денежных единиц.

Пример 11. Первоначальная стоимость единицы продукции равнялась 75 руб. В течение первого года производства она повысилась на некоторое, число процентов, а в течение второго года снизилась (по отношению к повышенной стоимости) на такое же число процентов, в результате чего она стала равна 72 руб. Определите проценты повышения и понижения стоимости единицы продукции. Решение. Пусть х% - это проценты повышения (и понижения) стоимости единицы продукции. По определению х% от 75 это 750,01x. Тогда после первого повышения цена станет равняться ,75x. В течение второго года цена снизится на величину 0,01x(75+0,75х) = 0,75х + 0,0075х 2. Теперь можно записать уравнение для окончательной цены (75 + 0,75х) - (0,75х + 0,0075х 2 ) = 72; х 2 = 400; отсюда x 1 = - 20, x 2 = 20. Подходит только один корень этого уравнения: х 2 = 20. Ответ: 20%.

Пример 12. В городе в настоящее время жителей. Известно, что население этого города увеличивается ежегодно на 10%. Сколько жителей было в городе два года назад? Решение. Предположим, что два года назад количество жителей город было x человек, тогда количество жителей в настоящее время выражается через х по формуле сложных процентов: x(1+0,1) 2 = 1,21x. Из условия задачи: 1,21х = 48400; х = Ответ: руб.

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Одно положительное число в 1,5 раза больше другого. Сколько процентов от суммы этих чисел составляет меньшее число? 2. Одно положительное число в 4 раза меньше другого. Сколько процентов от суммы этих чисел составляет большее число? 3. На сколько процентов надо уменьшить положительное число, чтобы получить число в 4 раза меньше исходного? 4. На сколько процентов надо увеличить положительное число, чтобы получить число в 2,5 раза больше исходного? 5. Цена товара была увеличена на 20 рублей, затем снижена на 20% и ока- залась равной 64 рублям. Найти первоначальную цену товара. 6. Цена товара была уменьшена на 10 рублей, затем повышена на 25% и оказалась равной 75 рублям. Найти первоначальную цену товара. 7. На сколько процентов повышена цена товара, если исходная цена 150 рублей, а новая 180 рублей? 8. На сколько процентов снижена цена товара, если исходная цена 80 руб- лей, а новая 60 рублей? 9. Найти новую цену товара, если исходная цена 150 рублей была сначала повышена на 20%, а затем снижена на 20%. ЗАДАЧИ

10. Найти новую цену товара, если исходная цена 200 рублей была сначала снижена на 30%, а затем повышена на 30%. 11. Найти число, 28% которого равны Найти число, 18% которого равны Если цену товара снизить на 40%, то она уменьшится на 12 рублей. Найти исходную цену товара. 14. Если цену товара снизить на 7рублей, то она уменьшится на 20%. Найти исходную цену товара. 15. Цена товара повышена на 150%. На сколько процентов надо снизить но- вую цену товара, чтобы цена товара вернулась к прежнему уровню? 16. Цена товара снижена на 20%. На сколько процентов надо повысить новую цену товара, чтобы цена товара вернулась к прежнему уровню? 17. 7% числа 200 равны 20% числа a. Найти число a % числа 300 равны 60% числа a. Найти число a. 19. На сколько процентов следует уменьшить радиус круга, чтобы его площадь уменьшилась на 19% ? 20. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди? 21. На экзамене по математике 20% студентов не решили ни одной задачи, 60% остальных студентов допустили ошибки или решили не все задачи. Сколько студентов сдавало экзамен, если 96 человек решили все задачи верно?