Тема 8: Оценка облигаций (4 часа) - часть 2 1. Понятие «дюрации» 2. Иммунизация и портфель облигаций 3. Проблемы, связанные с иммунизацией Темы для самостоятельного изучения: 1. Взаимосвязь выпуклости и дюрации 2. Стратегии управления инвестициями в облигации
1. Понятие «Дюрации» Дюрация (duration) есть мера «средней зрелости» потока платежей, связанных с облигацией. Более точно это можно определить как взвешенное среднее сроков времени до наступления остающихся платежей. Future value – будущая стоимость денег, Timeline – временная шкала, Duration – дюрация, Mature date – «зрелость» потока платежей.
Рассмотрим облигацию с ежегодным купонным платежом в 80 руб., сроком до погашения 3 года и номиналом 1000 руб. Так как ее текущий рыночный курс равен 950,25 руб., то ее доходность к погашению равна 10%. Покажем, что дюрация этой облигации равна 2,78 года. Приведенная стоимость каждого платежа умножается на время, через которое этот платеж должен поступить, затем все полученные значения суммируются, сумма (2639,17 руб.) делится на рыночный курс облигации (950,25 руб.). Формула для вычисления дюрации (D) выглядит следующим образом:
где PV(C t ) обозначает приведенную стоимость платежей, которые будут получены в момент времени t (приведенная стоимость вычислена с помощью ставки дисконтирования, равной доходности к погашению облигации), Р о обозначает текущий рыночный курс облигации, Т - срок до погашения облигации. Таблица 1 - Расчет дюрации Время до наступления платежа Сумма платежа (руб.) Ставка привед ения Приведенная стоимость платежа (руб.) Приведенная стоимость платежа, умноженная на время 1800,909172, ,826466,12132, , ,402434,21 950,252639,17 Дюрация = 2639,17/950,25 = 2,78 года
Почему дюрацию можно определять как «среднюю зрелость потока платежей, связанных с облигацией». Это становится ясно, если понять, что текущий рыночный курс облигации Р о равен сумме приведенных стоимостей потоков PV(C t ) при ставке дисконтирования, равной доходности к погашению: Таким образом, эквивалентным способом подсчета дюрации является: Вначале приведенная стоимость каждого платежа PV(C t ) выражается как некоторая доля рыночного курса (Р о ). Затем эти доли умножаются на величины соответствующих периодов времени до наступления платежей. Наконец, полученные результаты суммируются, и в итоге получается дюрация.
В примере, приведенном в табл., величина 0,07653 (72,73 руб./950,25 руб.) - это часть рыночного курса облигации, которая должна быть получена через 1 год. Аналогично величина 0,06958 (66,12 руб./950,25 руб.) должна быть получена через 2 года и величина 0,85388 (811,40 руб./950,25 руб.) должна быть получена по истечении 3 лет. Заметим, что в сумме эти доли дают единицу, что и позволяет использовать их в качестве весов при вычислении взвешенного среднего. Таким образом, чтобы вычислить взвешенное среднее платежей по облигации, каждый вес нужно умножить на соответствующий отрезок времени до наступления данного платежа и затем полученные произведения сложить (1 * 0,07653) + (2 * 0,06958) + (3 * 0,85388) = 2,78 года.
2. Иммунизация и портфель облигаций Введение понятия дюрации привело к развитию техники управления пакетами облигаций, которая известна под названием иммунизация (immunization). Именно эта техника позволяет портфельному менеджеру быть относительно уверенным в получении ожидаемой суммы дохода. Иначе говоря, когда портфель сформирован, он «иммунизируется» от нежелательных эффектов, связанных с будущими колебаниями процентных ставок. Иммунизация достигается путем вычисления дюрации обещанных платежей и формирования на этой основе портфеля облигаций с одинаковой дюрацией. Такой подход использует преимущество того, что дюрация портфеля облигаций равна взвешенному среднему дюрации отдельных бумаг в портфеле. Например, если одну треть портфеля составляют бумаги с дюрацией 6 лет, а две трети - бумаги с дюрацией 3 года, то сам портфель имеет дюрацию 4 года (1/3 * 6 + 2/3 * 3).
Рассмотрим простую ситуацию, когда менеджер должен через 2 года осуществить за счет своего портфеля только один платеж величиной в 1 млн. руб. Поскольку выплата только одна, то ее дюрация составляет 2 года. Менеджер рассматривает возможности инвестирования в облигации двух видов. Первый тип облигации показан в табл. 1 и имеет срок до погашения 3 года. Второй тип это облигации со сроком погашения 1 год, с единовременным платежом 1070 руб. (состоящим из 70 руб. купонного платежа и 1000 руб. номинала). Текущий курс этих облигаций равен 972,73 руб., и, значит, их доходность к погашению равна 10%.
Рассмотрим альтернативы менеджера. Во-первых, все средства могут быть вложены в облигации со сроком погашения 1 год и реинвестированы через год вновь в ценные бумаги со сроком погашения 1 год. Однако такой подход сопряжен с риском. В частности, если процентные ставки снизятся в течение следующего года, тогда средства, полученные от погашенных облигаций, будут вложены по более низкой ставке, чем та, которая имеется в настоящее время 10%. Таким образом, менеджер сталкивается с риском, связанным с возможностью реинвестирования средств по более низкой ставке. Во-вторых, он может вложить все средства в трехгодичные облигации, но это тоже сопряжено с риском. В частности, трехгодичные ценные бумаги должны быть проданы через 2 года, с тем, чтобы получить 1 млн. руб. Риск состоит в том, что процентные ставки поднимутся до этого момента, приводя к общему снижению курсов облигаций. В этом случае облигации, возможно, не будут стоить 1 млн. руб., т.е. и здесь менеджер сталкивается с риском изменения процентной ставки.
Одно из возможных решений инвестировать часть средств в одногодичные облигации, а часть в трехгодичные облигации. В какой пропорции их следует делить? При использовании иммунизации решение можно получить, решив систему из двух уравнений с двумя неизвестными: W 1 + W 3 = 1; (W 1 * 1) + (W 3 * 2,78) = 2. Здесь W 1 и W 3 обозначают веса (или пропорции), по которым средства инвестируются в один и другой тип облигаций соответственно. Заметим, что по приведенному первому уравнению требуется, чтобы сумма весов была равна 1. В соответствии со вторым уравнением взвешенное среднее дюраций бумаг портфеля должно быть равно дюрации выплаты, которая составляет 2 года. Решение этой системы уравнений найти легко. Перепишем вначале уравнение в виде: W 1 = 1 - W 3 Затем подставим (1 - W 3 ) вместо W 1 во второе уравнение и получим: [(1 - W 3 ) * 1] + (W 3 * 2,78) = 2.
Это одно уравнение с одним неизвестным может быть легко разрешено. В результате получим W 3 = 0,5618. Подставляя это значение в уравнение, получим W 1 = 0,4382. Таким образом, менеджер должен вложить 43,82% средств в одногодичные облигации, а 56,18% - в трехгодичные облигации. В этом случае менеджеру понадобится руб. (1 млн. руб./(1,10)2), с тем, чтобы приобрести облигации, которые составят полностью иммунизированный портфель. При этом руб. (0,4382 * руб.) пойдет на приобретение одногодичных облигации, а руб. (0,5618 * руб.) на приобретение трехгодичных облигаций. Поскольку текущие рыночные курсы одногодичных и трехгодичных облигаций равны 972,73 руб. и 950,25 руб. соответственно, это значит, что будет приобретено 372 ( руб./972,73 руб.) одногодичных облигаций и 489 ( руб./950,25 руб.) трехгодичных облигаций.
Что достигается посредством иммунизации? Теоретически, при росте доходности потери от продажи трехгодичных облигаций через два года с дисконтом будут в точности компенсированы прибылью от реинвестирования по более высокой ставке средств от погашенных одногодичных облигаций (и купонных платежей от трехгодичных облигаций через год). В противном случае при падении доходности потери в результате реинвестирования средств от одногодичных облигаций (и купонных платежей от трехгодичных облигаций через год) по более низкой ставке будут компенсированы возможностью продать трехгодичные облигации через 2 года с премией. Таким образом, портфель иммунизирован от влияния различных колебаний процентной ставки в будущем. В табл. 2 более точно показано, что будет происходить с портфелем. Во второй колонке показана стоимость портфеля через 2 года при условии, что процентная ставка оставалась на уровне 10% в течение этих 2 лет. Как можно увидеть, стоимость портфеля одногодичных и трехгодичных облигаций будет примерно равна ожидаемой сумме 1 млн. руб. Если, например, доходность падает до 9% или поднимается до 11% до того, как истек 1 год, и остается на новом уровне, то стоимость портфеля будет несколько выше 1 млн. руб.
Таблица 2 - Пример иммунизированного портфеля Доходность к погашению на конец первого года 9%10%11% Сумма (в руб.) на момент времени t = 2, полученная в результате реинвестирования дохода от одногодичных облигаций [1070 руб. * 372,3 * (1 + у)] = Стоимость трехгодичных облигаций в момент времени t = 2: Сумма, полученная от реинвестирования купонов, выданных в момент времени t = 1. [80 руб. * 488,6 * (1 + у) = Купоны, полученные в момент времени t = 2 [80 руб. * 488,6] = Цена продажи в момент времени t = 2 [1080 руб. * 488,6/(1 + у)] = Стоимость портфеля в момент времени t =
3. Проблемы, связанные с иммунизацией Ранее было показано, что иммунизация дает теоретически. Однако весьма вероятно, что на практике она не будет работать столь хорошо. Каковы же тому причины? В основе лежит ответ на следующий вопрос, почему дюрация не всегда точно отражает риск изменения процентной ставки? В терминах рассмотренного примера, по каким причинам стоимость указанного портфеля через 2 года может оказаться ниже 1 млн. руб.? Риск отзыва и риск неуплаты. Начнем с того, что иммунизация (и дюрация) основана на предположении, что ожидаемые потоки платежей по облигации будут выплачены полностью и своевременно. Данное положение означает, что иммунизация основана на том, что облигации будут оплачены и не будут отозваны до срока, т.е. по облигации отсутствует риск неуплаты и риск отзыва. Следовательно, если облигация не оплачивается или отзывается, то портфель не будет иммунизирован.
Другой возможный способ, позволяющий решить проблемы, связанные с непараллельными сдвигами горизонтальной кривой доходности, это использовать одну из более сложных иммунизационных моделей. В этих моделях делаются разные предположения о форме кривой доходности и ее изменениях в будущем. Следовательно, менеджер должен выбрать ту модель, которую он считает наиболее точной. Интересно, что, как показывают исследования, наиболее точной оказывается модель иммунизации, описанная в настоящей главе, а не более сложные. Поэтому некоторые исследователи считают, что менеджеру, занимающемуся иммунизацией, лучше пользоваться именно этой моделью.