ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ИСТОРИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.

Решим дифференциальное уравнение: y = k*y. Проинтегрируем обе части этого уравнения, получим: где с – постоянная.

Рассмотрим одну из простейших моделей численности населения в заданном регионе (КБР) Пусть Y = Y(t) - численность населения, живущего или жившего на ограниченной территории в момент времени t [ t, T ]. Допустим, что средняя скорость роста населения на одного человека (коэффициент прироста) - k k = kp - kc, где kp - коэффициент рождаемости, kc - коэффициент смертности. Прирост населения за время t = t - t 0 Y = kY t Разделим на t y/Δt = kY При t 0 в левой части - производная Y' = kY Y = Y0 e ^(kΔt) - решение этого дифференциального уравнения, где Y0 - численность населения в начальный момент времени t0, t - текущий момент времени. y(t) = y 0* e^(k(t-t0) - дискретная модель. Пусть численность населения изменяется через z лет (1, 2, 3,... лет), тогда Y (t + z) = Y*e^(k(t+z-t0)) Y (t + z) = Y*e^(k(t-t0)+kz) Y (t + z) = Y*e^(k(t-t0))*e^(kz) Следовательно, Y (t + z) = Y(t) * e^(kz).

Изменение численности населения КБР Годы Все население, тыс.человек , , , , , , , , ,948

Пусть y(t) – численность населения в определенные годы в КБР: y(1975) = тыс.чел., y(1980) = 681,1 тыс.чел., y(1985) - ? РЕШЕНИЕ. РЕШЕНИЕ. 1). Y(1980+5) = Y(1980)*e = 681,1*e, e - ? 1). Y(1980+5) = Y(1980)*e = 681,1*e, e - ? 2). Y(1975+5) = Y(1975)*e 2). Y(1975+5) = Y(1975)*e 681,1 = 647,8*e 681,1 = 647,8*e e = 681,1 : 647,8 e = 681,1 : 647,8 e = 1, e = 1, ). Y(1985) = 681,1*1, = 718,15 тыс. человек. 3). Y(1985) = 681,1*1, = 718,15 тыс. человек.

Составим программу решения задачи на языке Бейсик INPUT «введите численность населения за три заданных года»;N1,N2,N3 INPUT «введите численность населения за три заданных года»;N1,N2,N3 IF N3-N2N2-N1 THEN PRINT «измените годы так, чтобы разность между ними равнялась одному и тому же числу» ELSE 40 IF N3-N2N2-N1 THEN PRINT «измените годы так, чтобы разность между ними равнялась одному и тому же числу» ELSE 40 GOTO 70 GOTO INPUT «ВВЕДИТЕ ЗАДАННУЮ ЧИСЛЕННОСТЬ НАСЕЛЕНИЯ»; Y1,Y2 40 INPUT «ВВЕДИТЕ ЗАДАННУЮ ЧИСЛЕННОСТЬ НАСЕЛЕНИЯ»; Y1,Y2 Y3 = Y2^2/Y1 Y3 = Y2^2/Y1 PRINT «численность населения в »;N3;«году = »;Y3 PRINT «численность населения в »;N3;«году = »;Y3 70 END 70 END

ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ: N1 = 1975, N1 = 1975, N2 = 1980, N2 = 1980, N3 = 1985, N3 = 1985, Y1 = 647,8 Y1 = 647,8 Y2 = 681,1 Y2 = 681,1 Ожидаемый результат: численность населения в 1985 году = 718,15 Ожидаемый результат: численность населения в 1985 году = 718,15