Задача. В модели атома Томсона предполагалось, что положительный заряд q, равный по модулю заряду электрона, равномерно распределён внутри шара радиуса R. Чему будет равен период колебаний (внутри шара, вдоль его диаметра) электрона, помещённого в такой шар? Масса электрона т. Решение. 1. Известно, что при гармонических колебаниях для колеблющейся величины x справедливо уравнение x''(t) = 2 ·x + С (1) x''(t) – вторая производная колеблющейся величины по времени – циклическая частота колебаний. Чтобы определить период колебаний системы, нужно из законов, управляющих процессами в этой системе, выразить вторую производную колеблющейся величины по времени x''(t). Из полученного уравнения вида (1) определяют циклическую частоту и период С – постоянная величина, возникающая в уравнении, если среднее за период значение колеблющейся величины не равно нулю ( т. е. колебания происходят не вокруг значения x = 0 ). Если окажется, что эта производная подчиняется уравнению вида (1) (т. е. x''(t) является линейной функцией от колеблющейся величины x), то можно утверждать, что колебания являются гармоническими (т. е. колеблющаяся величина x меняется со временем по закону x(t) = Acos( t + 0 ) + K).

2. В случае механических колебаний для выражения x''(t) используют следующие методы: а) Записывают второй закон Ньютона для колеблющегося тела (или теорему о центре масс для системы) проекция ускорения является второй производной от координаты. б) Записывают закон сохранения энергии и берут производную по времени от записанного уравнения производная от скорости равна ускорению. в) Записывают уравнение динамики вращательного движения проекция углового ускорения равна второй производной угловой координаты. В нашей задаче удобнее всего первый способ: запишем для электрона второй закон Ньютона F e сила, действующая на электрон со стороны электрического поля, созданного шаром. Е напряженность электрического поля, созданного шаром, q эл-на = q (2) 3. Чтобы вычислить эту напряженность, представим равномерно заряженный шар, как множество бесконечно тонких равномерно заряженных сфер с общим центром. Знаем, что равномерно заряженная сфера создает внутри себя поле с напряженностью Е внут = 0, а в окружающем пространстве – поле с напряженностью Е внеш = Q – заряд сферы, r – расстояние от центра сферы до точки, для которой вычисляем Е внеш. X A В точке А, находящейся на расстоянии х от центра шара, О х электрическое поле создается только теми сферами, радиус которых меньше или равен х (для остальных сфер точка А находится внутри). Q x – суммарный заряд всех сфер, с радиусом меньшим или равным x. которых меньше или равен х, создают в точке А поле с напряженностью Сферы, радиус

4. Чтобы вычислить Q x, используем равномерность распределения заряда по шару. Поскольку заряд в шаре распределен равномерно, отношение Q x к полному заряду шара q равно отношению объема, в котором находится заряд Q x, к полному объему шара 5. Запишем теперь формулу (2) в проекциях на ось ОХ, подставив в неё Е(х) и a x = x''(t): (знак модуля не пишем, т. к. q > 0) Сравнив полученную формулу с уравнением (1), определим циклическую частоту Период колебаний равен