Логика Тема 3. «Классическая логика высказываний» А.И.Мигунов

Язык логики высказываний и семантика логических союзов Пропозициональные переменные – p, q, r, s, t, p 1,q 1,… Логические союзы (пропозициональные связки) Логический союзАналог в естественном языке Знак Коньюнкция«и» &,, (p q) Слабая дизьюнкция«или» p q Строгая дизьюнкция«либо…, либо…», p q Импликация«если …, то …», (p q) Эквиваленция«… тогда и только тогда, когда …», (p q) Отрицание«не …», «не верно, что …»,, p Технические знаки – (, ). А.И.Мигунов

Определение формулы логики высказываний 1.Пропозициональная переменная есть формула; 2.если А – формула, то А тоже формула; 3.если А – формула и В – формула, то (А В), (А В), (А В), (А В), (А В) – тоже формулы; 4.любая последовательность знаков из алфавита языка логики высказываний есть формула только в силу пунктов 1, 2, 3 данного определения. А.И.Мигунов

Построение дерева формулы ((A B) A) B C () САВАВ (A B) ((A B) A) (B C) ((A B) A) (B C) А.И.Мигунов

Семантика логических союзов А.И.Мигунов

Таблицы истинности формул логики высказываний АВ А А В ИИЛЛ ИЛЛЛ ЛИИИ ЛЛИЛ Некто А говорит: «Я лжец, а В не лжец». Кто А и кто В? «А рыцарь» – А «А лжец» - А А В А.И.Мигунов

Таблицы истинности формул логики высказываний Если магнит нагревать, то он размагнитится. Этот магнит нагревали, следовательно, он размагничен. ((A B) A) B АВ A B((A B) A((A B) A) B ИИИИИ ИЛЛЛИ ЛИИЛИ лЛИЛИ А.И.Мигунов

Пример 1 Где сидит принцесса? 1 По крайней мере, в одной из этих комнат находится принцесса 2 Тигр сидит в другой комнате Истинны ли утверждения на дверях комнат? - спросил узник Может, оба истинны, а может, оба ложны, - ответил король. Принцесса в комнате 1 - p 1 Принцесса в комнате 2 - p 2 Тигр в комнате 1 - t 1 (p 1 v p 2 ) t 1 и и и и и и и и л л и и л и и и и л л л л и и и и л и и л л л л л л и л л л и л А.И.Мигунов

Основные модусы логики высказываний MODUS TOLLENS A B B A ((A B) B) A MODUS PONENS A B A B ((A B) A) B АВ A B ИИИ ИЛЛ ЛИИ ЛЛИ А.И.Мигунов

Отношение логического следования Формула В логически следует из формул А 1, А 2,…, А n (А 1, А 2, …, А n В), если и только если в каждой пропозициональной интерпретации, в какой все формулы А 1, А 2, …, А n принимают значение «и», формула В также есть «и». p q q p А 1, А 2 В А.И.Мигунов

Отношение логического следования Задача установления того, следует ли высказывание В из высказываний А 1, А 2,…, А n сводится к задаче выяснения является ли высказывание (( А 1 А 2 … А n ) В) тождественно истинным (тавтологией, законом логики). А.И.Мигунов

Отношение логического следования Формула В логически следует из формул А 1, А 2,…, А n (А 1, А 2, …, А n В), если и только если в каждой пропозициональной интерпретации, в какой все формулы А 1, А 2, …, А n принимают значение «и», формула В также есть «и». p q q p А 1, А 2 В (А 1 А 2 ) В ((p q) q) p А.И.Мигунов

pq p qp q(p q) q((p q) q) p ИИЛЛИЛИ ИЛЛИЛЛИ ЛИИЛИЛИ лЛИИИИИ А.И.Мигунов

АВ A B ИИИ ИЛЛ ЛИИ ЛЛИ В А ? А.И.Мигунов

MODUS TOLENDO PONENS A B A B ((A B) A) B MODUS PONENDO TOLLENS A B А В ((A B) А) В АВ А ВA B А В ИИЛЛИЛ ИЛЛИИИ ЛИИЛИИ ЛЛИИЛЛ А.И.Мигунов

ПРОСТАЯ КОНСТРУКТИВНАЯ ДИЛЕММА A B C B A C B ((A B) (C B) (A C)) B СЛОЖНАЯ КОНСТРУКТИВНАЯ ДИЛЕММА A B C D A C B D ((A B) (C D) (A C)) (B D) ПРОСТАЯ ДЕСТРУКТИВНАЯ ДИЛЕММА A B A D ~B ~D ~A ((A B) (A D) (~B ~D)) ~A СЛОЖНАЯ ДЕСТРУКТИВНАЯ ДИЛЕММА A B C D ~B ~D ~A ~C ((A B) (C D) (~B ~D)) (~A ~C)

СЛОЖНАЯ КОНСТРУКТИВНАЯ ДИЛЕММА A B C D A C B D ((A B) (C D) (A C)) (B D) «Если ваши книги согласуются с Кораном, то они излишни. Если ваши книги не согласуются с Кораном, то они вредны. Но они либо согласуются с Кораном, либо нет. Следовательно, они либо излишни, либо вредны» А.И.Мигунов

Зенон: Если тело находится в движении, то оно должно двигаться или там, где оно есть, или там, где его нет. Но тело не может двигаться ни там, где оно есть, ни там, где его нет. Следовательно, оно вообще не может двигаться, т.е. движение невозможно» ПРОСТАЯ ДЕСТРУКТИВНАЯ ДИЛЕММА p (q r) ~(q r) ~p ((p (q r)) ~(q r)) ~p ? A B B A ((A B) B) A А.И.Мигунов Modus Tollens