ХОД УРОКА 1.Проверка домашней работы 2. «Мой маленький проект» 3.Самостоятельная работа 4.Задача из ЕГЭ, уровня «С».

) 2) Задачи на уроке

Расстояние от точки до плоскости

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Расстоянием между двумя непересекающимися прямыми в пространстве называется длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым Если одна из двух данных прямых лежит в плоскости, а другая – параллельна этой плоскости, то расстояние между данными прямыми равно расстоянию между прямой и плоскостью. A B

Если ортогональная проекция на плоскость переводит прямую a в точку A, а прямую b в прямую b, то расстояние AB между прямыми a и b равно расстоянию AB от точки A до прямой b. В b А

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC. Ответ: Решение: Пусть (АВС) = α Пр. α А 1 = А. ρ (АА 1 ;ВС) = ρ (А;ВС) Треугольник АВС – равнобедренный, в котором АН - высота АН = ρ (А;ВС) Н

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1. Ответ: Решение: Пусть (АВС) = α Пр. α (А 1 )= А. Пр. (ВС 1 )= ВС ρ (АА 1 ;ВС 1 ) = ρ (А;ВС) Треугольник АВС – равнобедренный, в котором АН - высота АН = ρ (А;ВС) Н

С1С1С1С1 В1В1В1В1 А1А1А1А1 А С В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 все ребра равны 1 Найти расстояние между прямыми АА 1 и ВС 1. 1)Введем базисные вектора: пусть АА 1 = а, АВ = b и АС = с а · b = a · c = 0 ; b · c = 0,5. BC = b – c ; C 1 B = b – c +a; 2) Искомое расстояние между прямыми АА 1 и ВС 1 это НН 1 3)НН1 = НВ + ВА + АН 1 = xC 1 B + BA + yAA 1 = = (x+y) a + (x – 1)b – xc. Н Н1Н1Н1Н1 в

4) AA 1 · HH 1 = 0 a · ((x+y) · a + (x-1) · b – xc ) = 0; (x+y) · a 2 + (x-1) · a · b - x · c · a = 0 C 1 B · HH 1 = 0 (b – c +a) · ((x+y)a + (x-1)b – хc) = 0; (x-1) -0,5x – 0,5(x – 1) +x +(x+y) = 0; x = 0,5; 5) x = 0,5; y = - 0,5 6) HH 1 = -0,5b – 0,5c + 0 · a ) HH 1 = 4 b c · 4 · bc = 4 = ОТВЕТ: расстояние между прямыми АА 1 и ВС 1 равно 2 С1С1С1С1 В1В1В1В1 А1А1А1А1 АВ С Н Н1Н1Н1Н1

Ответ:. Решение: Искомым общим перпендикуляром является отрезок A 1 C 1. Длину этого отрезка можно найти по теореме косинусов. Теорема косинусов: a²=b²+c²-2*b*c*cos =120 º. Cos = - ½. Тогда A 1 C 1 =A 1 B 1 ²+B 1 C 1 ²- 2 A 1 B 1 *B 1 C 1 *cos A 1 C 1 =1+1+2*1*1*½ = Его длина равна.

В правильной 6-й призме A … F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и B 1 C 1. Решение: 1. Прямые F 1 A 1 и А А 1 лежат в одной плоскости ( F F 1 A 1 A). Прямые F 1 A 1 и B 1 C 1 лежат в плоскости ( A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ). 2. Продолжим стороны B 1 C 1 и A 1 F 1 до пересечения в точке G. Так как угол в призме 120 º, то углы в т реугольнике A 1 B 1 G равны 60 º, причем A 1 G=GB 1 = A 1 B 1, т.о. треугольник A 1 B 1 G - равносторонний. Его высота A 1 H является медианой и искомым общим перпендикуляром. 3.Найдём его длину по следствию из теоремы Пифагора : A 1 H² = A 1 G² - GH², A 1 H= A 1 G² - GH², A 1 H = 1 - ¼ = Его длина равна. Ответ:

В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA1 и BC1. Решение: 1)Искомым расстоянием является расстояние между параллельными плоскостями ADD1 и BCC1. 2)так как угол ABH =30 º => по теореме о соотношениях сторон в прямоугольном треугольнике AH=, 3)AB= НB= Н

Ответ: Решение. Искомое расстояние равно длине отрезка EF, где E, F – середины ребер AD, GF. В треугольнике DAG DA = 1, AG = DG = Следовательно, EF = Первый способ решения задачи: Дано: правильный тетраэдр ABCD, DA =1. Найти: расстояние между прямыми AD и BC.

Пусть = Тогда Таким образом

(1) (2)

Подставив (2),получим: Отсюда Подставив (1),получим:

Подставим X и Y, получим Получим Ответ: расстояние между прямыми AD и BC равно

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB и A 1 C. Введем базисные вектора: пусть СВ = а, С В = b и СС 1 = с. а b = 0,5 ; а с = b с = 0 Искомое расстояние между прямыми АВ и А 1 С это М N. М N = y АВ + АС + x СА 1 MN = a (1+y) – b(y+x) + xc MN AB = 0, AB= a – b (a (1+y) – b(y+x) +xc) (a – b) = 0 2y + x + 1= 0

2 2 3 MN = 7 a + 7 b + 7 c MN = 49 a b c a 7 b b 7c a 7c = 7 Ответ : расстояние между прямыми АС и А 1 С равно. MN CA 1 = (c – b) (a(1+y) – b(y+x) +xc)=0 2x + 0,5y - 0,5 = 0 3 4x +y – 1 = 0, x = 7 5 2y + x +1 =0; y = 7 ; М N

1) В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки A до плоскости CDD1. 2)В единичном кубе A…D1 найдите расстояние прямыми AB1 и CD1. 3)В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми и DB И АА1 АD=1 АО= АD=1 Самостоятельная работа 1вариант 4) найдите расстояние между прямыми АВ и СD HF=

3) В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA1 и CD1. AC= 2) В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки A до плоскости BCD1 AO= 1)В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми AA1 и BD1. АD=1 2 вариант 4) найдите расстояние между прямыми AC и DB HF=

Основанием прямой призмы является треугольник АВС, в котором угол С=, Угол А=, ВС=1. Точка К середина ребра СС, а Тангенс угла между прямой АВ и плоскостью основания равен 1. Найдите расстояние между прямыми ВК и АВ.

Расстояние между скрещивающимися прямыми. ABCABC – прямоугольная трапеция K Найти расстояние между прямой AB и прямой KB M N CK=KC=1/2 ACB= Координатный метод.

MN = x( I + k – j)+ k + y(-½ k– j ) = k( x ½y)- j( x + y) + I x K M N O X Y Z Решение: MN=MB+BB+BN (1), MB= x BA (2), BN= y BK( 3 ), MN=x BA+BB+ y BK (4) i j k BA=BC + CA + AA = -j + I + k; (5) BK = BB + BC + CK = - k – j + ½ k; (6) MN (x, -(x + y), x+1 -½y). BB = k (7) 1 1

K MN BAMN BA =0 MN BK O X Y Z M N 3x+x+y+x+1-½y=0, x+y- ½x -½+ ¼y=0; x= - ¼, y= ½. MN BK =0 MN = = Ответ : BA (,-1, 1), BK (0,-1,-½) MN (x, -(x + y), x+1 -½y). MN( ; ; )

K O X Y Z M N i j k

Домашнее задание В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA1 и BE1. В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB1 и DE1. В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB1 и BD1. В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SBE. В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости CEE1.