Работу выполнил: Субботин Антон Ученик 10 класса МБОУ «Тирянская СОШ»

Цель исследовательской работы Объект исследования: тригонометрия и тригонометрические уравнения. Предмет исследования: практическое применение тригонометрии. Цель исследования: установить картину возникновения понятий тригонометрии и выявить примеры применения.

История возникновения тригонометрии Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 г. в заглавии книги немецкого теолога и математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, ), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре. Происхождение этого слова греческое: τρίγωνον треугольник, μετρεω мера. Иными словами, тригонометрия наука об измерениях треугольников. Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом. Хотя название возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны уже 2000 лет назад

Синус Длительную историю имеет понятие синуса. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в 3 в. до н.э. в работах великих математиков Древней Греции Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. В римский период эти отношения уже достаточно систематично исследовались Менелаем (I в. н. э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус угла α, например, изучается как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной α, или как хорда удвоенной дуги.

Косинус Слово косинус намного моложе. Косинус это сокращение латинского выражения complementlysinus, т.е. «дополнительный синус» (или иначе «синус дополнительной дуги»; вспомните cosα= sin( 90° - a)).

Тангенс Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы. Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).

Тригонометрические уравнения Простейшие тригонометрические уравнения. Схема решения тригонометрических уравнений. Введение вспомогательного аргумента. Универсальная тригонометрическая подстановка. Решение тригонометрических уравнений с помощью формул. Решение тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители. Решение однородных тригонометрических уравнений. Решение нестандартных тригонометрических уравнений.

Простейшие тригонометрические уравнения Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида f(kx + b) = a, где f - одна из тригонометрических функций: sinx, cosx, tgx. Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней.

Схема решения тригонометрических уравнений Решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения - преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип: не терять корней.

Введение вспомогательного аргумента

Универсальная тригонометрическая подстановка

Решение тригонометрических уравнений с помощью формул Уравнения, сводящиеся к квадратным. Уравнения, допускающие понижение степени с помощью формул: cos2α =2cos 2 α – 1 и cos2α =1-2sin 2 α

Разложение на множители sin2x+cosx=0 2sinxcosx+cosx=0 cosx (2sinx+1) =0 cosx=0 или sinx=1/2

Решение однородных тригонометрических уравнений Однородные уравнения – это тригонометрические уравнения, содержащие квадраты синуса, косинуса и произведение синуса на косинус. Их решение основано на том, что синус и косинус одновременно не могут равняться нулю. Делим обе части уравнения на квадрат косинуса. В результате получаем квадратное уравнение относительно тангенса.

Практические применения тригонометрии Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Заключение Я подробнее узнал об истории возникновения тригонометрии. Систематизировал методы решения тригонометрических уравнений. Узнал о применениях тригонометрии в архитектуре, биологии, медицине.