Производная и дифференциал.. Дифференциал Пусть функция y=f(x) дифференцируема на [a, b]. Тогда - бесконечно малая функция более высокого порядка, чем.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Дифференциал функции Определение 1. Пусть приращение функции можно представить в виде где A не зависит от, - бесконечно малая более высокого порядка малости,
Advertisements

1 2 Определение производной функции в точке Непрерывность дифференцируемой функции Дифференциал функции Геометрический смысл производной и дифференциала.
Производная функции Производные высших порядков Производные от функций, заданных параметрически Дифференциал функции Геометрический смысл дифференциала.
Приложения производной Функции нескольких переменных.
Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное исчисление Тема: Дифференциал функции. Производные и дифференциалы порядка n.
ЛЕКЦИЯ 2 по дисциплине «Математика» на тему: «Производные функций. Правила дифференцирования. Дифференциал функции» для курсантов I курса по военной специальности.
Основы высшей математики и математической статистики.
Производная функции.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Лекция 3 Дифференциальное исчисление Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР.
Определение дифференциала функции Дифференцируемость функции Правила дифференцирования Инвариантность формы дифференциала Пример Дифференциал в приближенных.
Лекция 4. Тема: «Дифференциал и интеграл» Специальность: «Сестринское дело» Курс: 2 Дисциплина: «Математика» Подготовила: преподаватель высшей категории.
Элементы дифференциального исчисления Лекция 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1. Производные 2. Таблица производных 3. Дифференциал.
Полный дифференциал функции нескольких переменных Лекция 2.
Производная и дифференциал.. Техника дифференцирования элементарных функций.
Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х. Выберем точку Дадим аргументу x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy=f(x+Δx)- f(x).
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Дифференцируемость ФНП (окончание). Частные производные.
§4. Основные теоремы дифференциального исчисления ТЕОРЕМА 1 (Ферма). Пусть функция y = f(x) определена на (a; b) и в точке (a; b) принимает ниабольшее.
Дифференцирование суммы, произведения и частного.
Производная и ее применение в науке и технике Выполнил: Егоров Даниил, студент 1-ого курса ЧЭМК.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Частные производные высших порядков. Дифференцируемость.
Транксрипт:

Производная и дифференциал.

Дифференциал Пусть функция y=f(x) дифференцируема на [a, b]. Тогда - бесконечно малая функция более высокого порядка, чем : бесконечно малые

Если функция y=f(x) имеет производную f (x) в точке х, то произведение производной f (x) на приращение Δ х называется дифференциалом функции и обозначается символом dy: Так как, то Следовательно или

1. Найти дифференциал функции Ответ.

dy бесконечно малая высшего порядка относительно Δ х или

2. Найти дифференциал и приращение функции при х=20 и Δ х=0,1 Ответ. абсолютная погрешность:

3. Шар радиуса R=20 см был нагрет, отчего радиус его удлинился на 0,01 см. Насколько увеличился при этом объем шара? Ответ. Объем шара увеличился на Решение:- объем шара Так как приращение аргумента мало то приращение функции можно заменить её дифференциалом

y y=f(x) M ΔyΔy ΔxΔx x+ Δ x x x N f(x+ Δ x)= =y+ Δ y y=f(x) Геометрический смысл дифференциала L K dy Рассмотрим функцию y=f(x)- непрерывна на x (a, b). dy

y y=f(x) M ΔyΔy ΔxΔx x+ Δ x x x N f(x+ Δ x)= =y+ Δ y y=f(x) L K dy геометрически: замена Δ y на dy означает замену участка кривой участком её касательной (на небольшом участке изменения аргумента всякую дифференцируемую функцию можно рассматривать как линейную). на языке механики: означает, что любое движение за короткие промежутки времени можно приближенно считать равномерным.

Основная формула для простейших приближенных вычислений: Применение дифференциала к приближенным вычислениям. или

Пример 1. Пусть

Частный случай : если, то

Пример 2. Пусть Частный случай: если х=0, то

Показать, что

Основные теоремы о дифференциалах. 2) Доказательство: dudv Задача нахождения дифференциала функции равносильна нахождению производной.

Дифференциалы высших порядков. дифференциал 1-го порядка: дифференциал 2-го порядка: дифференциал 3-го порядка: и т.д. Рассмотрим функцию y=f(x), где х- независимая переменная.

Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: Производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

Пример 3. Вычислить дифференциал 3-го порядка для функции Ответ:

производная высших порядков от функции, заданной параметрически. Пример 4. Записать формулу при помощи дифференциалов: Ответ: