Понятие движения

Преобразование фигур

F G

Преобразование фигуры, которое сохраняет расстояние между точками, называется движением этой фигуры.

F F G G

Свойства движений Свойства движений

Точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в точки, лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. А В С А1А1 В1В1 С1С1 Доказательство. Теорема 1. Пусть движение переводит соответственно точки А, В, С в точки А 1, В 1, С 1. Тогда выполняются равенства: А 1 В 1 =АВ, В 1 С 1 =ВС, А 1 С 1 =АС. Т. к. АВ+ВС=АС, следовательно А 1 В 1 +В 1 С 1 =А 1 С 1. Это означает, что точки А 1, В 1, С 1 лежат на одной прямой, причем порядок их взаимного расположения сохранился.

Следствие. При движении прямые переходят в прямые, лучи – в лучи, отрезки – в отрезки.

Укажите неотмеченные названия точек, полученных в результате некоторого движения

Теорема 2. Треугольник движением переводится в равный ему треугольник. Следствие 1. При движении сохраняются величины углов. Следствие 2. Площади многоугольников при движении сохраняются.

Какие фигуры получатся при движении заданных фигур?

Виды движений Виды движений

Симметрия

Центральная симметрия

Основное свойство центральной симметрии Теорема Центральная симметрия является движением, изменяющим направления на противоположные. Доказательство.

Осевая симметрия

Основное свойство осевой симметрии Теорема Осевая симметрия является движением Доказательство.

Параллельный перенос

Укажите недостающие координаты точек на рисунке

Основное свойство параллельного переноса Теорема. Параллельный перенос является движением, которое сохраняет направления Доказательство.

Определите, чему равны заданные отрезок и угол?

Задача 1. В результате параллельного переноса вершины квадрата ABCD переходят соответственно в вершины квадрата А 1 В 1 С 1 D 1. Найдите координаты точек В 1, С 1, D 1, если А(1;-2), А 1 (5;6), В(4;2), С(0;5), D(-3;1). Ответ. В 1 (8;10), С 1 (4;13), D 1 (1;9)

Задача 2. Составьте уравнение образа окружности х 2 +у 2 -2х-4у-10=0 при параллельном переносе на вектор Ответ. (х-3) 2 +(у-6) 2 =15.

Задача 3. Постройте образ треугольника АВС при параллельном переносе на вектор. А В С А1А1 В1В1 С1С1

Поворот

Основное свойство поворота Теорема. Поворот является движением.

При повороте окружность переходит в себя Центр поворота совпадает с центром окружности. Центр поворота не совпадает с центром окружности.

Построить образ отрезка АВ при повороте вокруг точки О на против часовой стрелки. А В О Построение : А1А1 В1В1

Укажите, как называются данные виды движений?

1. Построить образ треугольника АВС при повороте вокруг точки А на 45 0 по часовой стрелке. 2. Докажите, что при повороте правильного шестиугольника на вокруг своего центра он отображается сам на себя.