Алгебраические действия, свойства функций и основные формулы : Применять свойства 1. Алгебраические Выполнять правильно вычисления. 2. Иррациональные 3. Тригонометрические 4. Показательные 5. Логарифмические Вернуться

1. Арифметические и алгебраические действия Формулы сокращенного умножения Разложение на множители Действия со степенями Главное меню Вернуться

квадрату первого Квадрат суммы, разности двух чисел равен квадрату первого удвоенное произведение числа, плюс, минус удвоенное произведение первого квадрат второго числа на второе, плюс квадрат второго числа Разность квадратов двух чисел равна произведению разности чисел на их сумму

Сумма, разность кубов двух чисел равна произведению суммы, разности чисел на неполный квадрат разности, суммы ±± Куб суммы (разности) равен кубу первого числа, плюс (минус) утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение квадрата второго на первое плюс ( минус) куб второго числа ±±±

1. Найти общий множитель среди чисел; 2. Найти общий множитель среди букв; 3. Записать общий множитель и открыть скобку; 4. В скобке записать результат деления каждого слагаемого на общий множитель. 48a 3 b 2 – 36a 2 b ab 3 = 6ab 2 ( 8a 2 – 6ab + 5b) общий множитель скобка Результат деления 12 2 – 4 · 5 · 7 = 12·12 – 4 · 5 · 7 = 4(3·12 – 5 · 7) = 4 · 1 = – 4 · 2 · 77 = 28·28 – 4 · 2 · 77 = 8(7·14 – 77) = 8

2.2. По квадрату первого числа найти число; 3.3. По квадрату второго числа найти число; 5.5. Записать выражение в виде (a ± b) Проверить удвоенное произведение; 1.1. Привести выражение в стандартный вид; (по местам, по знакам) Проверьте себя. Разложите на множители: 1)4 – 4 х + х 2 = (2 – х) 2 2)4 х – 4 – х 2 = - (4 – 4 х + х 2 ) = - (2 – х) 2 3)- 9a 4 – 12 a 2 b – 4b 2 = - (9 а a 2 b + 4b 2 ) = - (3a 2 + 2b) 2 Разложить можно выражение, содержащие 3 слагаемых

Разложите на множители: 1)х 2 – 1 = (x – 1)(x + 1) 2)1/9 – у 2 = (1/3 – x)(1/3 + x) 3) (x – 1) 2 – (3 – x) 2 = (x – 1 – (3 – x))(x – – x) = 2(2x – 4) 4) x 4 – 1 = (x 2 – 1)(x 2 +1) = (x – 1)(x + 1)( x 2 +1) 5) = (435 – 72)( ) 6)221 2 – = (221 – 220)( ) = 441 7) (a – b) 2 – a 2 = (a – b – a) (a – b + a) = - b(2a – b) Разность квадратов Разность оснований умножить на их сумму Разложить можно выражение, содержащие 2 слагаемых

1. Общий множитель (ОМ) во всем выражении, если есть, то вынести; 2. Формула сокращенного умножения во всем выражении, если есть, то применить; 3. Группировка: а) с ОМ; б) с ОМ и ФСУ; в) с ФСУ. а) группировка с общим множителем 14am – 7an + 8bm – 4bn = б) группировка с общим множителем и ФСУ х 2 – у 2 – 2 х – 2 у = в) группировка с ФСУ х ху + у 2 – 1 = 7a(2m – n) + 4b(2m – n) = (2m – n)(7a + 4b) (x – y)(x + y) - 2(x – y) = (x – y)(x + y - 2) (x + y) = (x – y - 1 )(x + y + 1)

1. Общий множитель (ОМ) во всем выражении, если есть, то вынести; Разложите на множители: 1)3 х 2 – 3 = ________________________________________________________________ 2)2 а 2 – 4 ау + 2 у 2 = _________________________________________________________ 3)48 х = _______________________________________________________________ 4)7mn 3 – 28mn + 28m 3 = _____________________________________________________ 2. Формула сокращенного умножения во всем выражении, если есть, то применить; 1)25 х 2 – 40x + 16 = _________________________________________________________ 2)(3n – 2) 2 – 1 = __________________________________________________________ 3)a = _________________________________________________________________ 3. Группировка: а) с ОМ; б) с ОМ и ФСУ; в) с ФСУ. 3(x – 1)(x + 1) 2(a – y) 2 6(2x + 1)(4x 2 – 2x + 1) 7mn(n 2 – 4nm + 4m 2 ) = 7mn(n – 2m) 2 (5x – 4) 2 (3n – 2 - 1)(3n – 2 + 1) = (3n – 3)(3n – 1) = 3(n – 1)(3n – 1) (a 2 - 1)(a 2 + 1) = (a – 1)(a + 1) 1)a 3 – 9a + a 2 – 9 = _________________________________________________________ a(a 2 - 9) + (a 2 - 9) = (a – 3)(a + 3)(a + 1)

Дробь больше нуля, если числитель и знаменатель имеют _________________ ____________________________ Дробь меньше нуля, если числитель и знаменатель имеют _____________________ ________________________ > 0 < 0 если или Чтобы изменить знак в числителе или знаменателе, надо изменить знак перед дробью и изменить знаки либо в числителе, либо в знаменателе одинаковые знаки разные знаки

Так как складывать дроби можно только с одинаковыми знаменателями, то их нужно привести к общему знаменателю. 2. Найти общий знаменатель (ОЗ); 1. Разложить знаменатели на множители; 3. Равно, дробная черта, ОЗ; 4. Черточки к каждому слагаемому, дополнительный множитель (ДМ); 5. В числителе записать результат умножения ДМ на числитель соответствующей дроби; 6. Ответ привести в стандартный вид.

Сложите дроби 1. Разложить знаменатели на множители 2. Найти общий знаменатель 3. Равно, дробная черта, ОЗ 4. Черточки к каждому слагаемому, Доп. множ. 5. Результат умножения ДМ на числитель дроби 6. Стандартный вид: подобные, сокращение a – b a + b 1 1 Назад

2. При умножении: _______________________________ ________________________________________________ при делении: _____________________________________ _____________________________________________ Разложить числители и знаменатели на множители числитель - на числитель, знаменатель - на знаменатель числитель - на знаменатель, знаменатель - на числитель Сократить дробь Ответ привести в стандартный вид

Вычислите при а = - ½, b = ¼ Смотри здесь Вычислите: Умножим числитель и знаменатель на общий знаменатель знаменателей входящих (2 и 3). ОЗ = 6 Можно просто выполнить деление

В десятичную дробь можно перевести дробь, знаменатель которой имеет только множители 2 и Числитель разделить на знаменатель в столбик или устно 380 0,3 24 _ 60 7 _ Числитель и знаменатель умножить на такое число, которое дает умножение знаменателя на него 1 с нулями.

1. Иррациональные выражения Корень n – ой степени Вычисление корней Свойства корней Главное меню Вернуться Преобразование выражений

Корнем n – ой степени из числа а называется число, n – ая степень которого равна а. Подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным числом ( 0) Так как, то а ____ 0 0 Арифметическим корнем из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n –ая степень которого равна а.

Арифметический корень: Корень степени 2n из а в степени 2n равен а по модулю: Чтобы извлечь корень из четной степени надо показатель подкоренного выражения разделить на показатель корня и ответ взять по модулю D ( ) = [0;) Подкоренное выражение : D ( ) = [0;) Подкоренное выражение :

Чтобы вычислить корень, надо найти такое число, которое при возведении в степень корня дает __________________________________ 1. Знать таблицу степеней; Заполните таблицу 2 2 = 3 2 = 5 2 = 2 3 = 3 3 = 5 3 = 2 4 = 3 4 = 5 4 = 2 5 = 3 5 = 2 6 = 2 7 = 11 2 = 12 2 = 13 2 = 14 2 = 15 2 = 25 2 = 2 10 =

Чтобы освоить вычисление корня, надо знать и уметь: 1. Знать таблицу степеней; 2. Уметь раскладывать числа на простые множители; 3. Знать, что число, оканчивающее нулями, будет точным квадратом, если число нулей четно; 4. Знать, что десятичная дробь в квадрате имеет после запятой четное число знаков ; 00 Чтобы извлечь корень надо: извлечь корень из числа без нулей и приписать нулей в два раза меньше 20, Чтобы извлечь корень из дроби надо: извлечь корень из числа без запятой справа отсчитать в два раза меньше знаков, чем подкоренном выражении 0, 0 0

Чтобы освоить вычисление корня, надо знать и уметь: Вычислите: Определите какое число в квадрате дает подкоренное выражение: (12 2 = 144). Это число и будет ответом = 900, 40 2 = < 1225< 1600 Так как 1225 оканчивается на 5, то искомое число должно оканчиваться на 5. Это 35. Проверим 35 · 35 =1225 Ответ: Вычислите, разложив число на простые множители: Разложим 1764 на множители

1. Корень из произведения; 2. Произведение корней; 2. Корень из дроби;3. Деление корней; 3. Корень из четной степени;4. Возведение корня в степень;

3. Корень из четной степени;4. Возведение корня в степень; 5. Корень из корня; 6. Действия с показателями;

2. Извлечь корень из точного квадрата 1. Разложить число на два множителя, один из которых – наибольший полный квадрат 3. Записать ответ: множитель перед корнем и корень из оставшегося множителя

Примечание 1. При наличии корня четной степени ответ взять по модулю. При возможности модуль раскрыть А. Запомнить целую часть деления и остаток Б. Разделить показатель подкоренного выражения на показатель корня В. Записать ответ: Целая часть деления –показатель множителя перед корнем; остаток от деления – показатель множителя под корнем

1. Возвести множитель в степень корня и умножить подкоренное выражение; 2. Умножить подкоренное выражение; минусом минус Если множитель перед корнем с минусом, то минус нужно оставить перед корнем

Вносим множитель Выносим множитель Вычислить при а = ½, b = 1

Справочный материал (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab +b 2 a 2 – b 2 = (a - b)(a + b) a 3 ± b 3 = (a +(-) b)(a 2 +(-) a b + b 2 ) Примеры: Не забывать удвоенное произведение ! Не забывать ! 1. ОМ и открыть скобку; 2. В скобке – результат от деления Запиши формулы:

Примеры: Разность квадратов. Квадрат суммы. b 1 Тогда b равно 1, т.к. b = 2ab : 2a а Пусть удвоенное произведение и - это а Сумма квадратов

t Пусть равен t t Тогда равно t 2 Сделай замену

- число 1,411,42 Деление на иррациональное увеличивает неточность. 1. Умножить знаменатель и числитель на корень из знаменателя; 2. Ответ привести в стандартный вид.

1. Умножить знаменатель и числитель на сопряженное выражение; 2. Ответ привести в стандартный вид. Сопряженное выражение - это двучлены суммы и разности.

Сначала запишите множитель в знаменателе, потом в числителе. Проверьте и запомните равенство

3. Тригонометрические выражения Тригонометрические отношения в геометрии. В6 Нахождение триг. функций по одной из них Применение формул приведения Главное меню Вернуться

А В С a b c Противолежащий катет Прилежащий катет Гипотенуза sin A = cos A = tg A = Противолежащий катет Прилежащий катет Гипотенуза Противолежащий катет Прилежащий катет Гипотенуза

Табличные значения 30°45°60° sin cos tgtg сtgсtg 1 1 Ряд синуса 30°45°60° Для косинуса поменяйте крайние значения 30°45°60° Ряд тангенса 30°45°60° Для котангенса поменяйте крайние значения 30°45°60°

1. В треугольнике АВС угол С равен 90°, угол В равен 60° Найдите синус угла ВАС А В С a b c ВАС = 90° - 60° = 30° sin30° = ½ Ответ: 0,6 2. В треугольнике АВС угол С равен 90°, cosA = 4/5. Найдите синус угла ВАС Способ 1. А В С sin A = Противолежащий катет Гипотенуза sin A = 3/5 = 0,6 Ответ: 0,5

1. В треугольнике АВС угол С равен 90°, угол В равен 60° Найдите синус угла ВАС А В С a b c ВАС = 90° - 60° = 30° sin30° = ½ 2. В треугольнике АВС угол С равен 90°, cosA = 4/5. Найдите синус угла ВАС Способ 2. А В С a b c Ответ: 0,5

3. В треугольнике АВС угол С равен 90°, cosA = 3/5. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу. А В С a b c H CHA. Найти: CH – противолежащий катет Известно: АC – гипотенуза Используем синус АВС – египетский, стороны: 3, 4, 5 АС = 3, т.к. cosA = 3/5 Ответ: 2,4 4. В треугольнике АВС угол С равен 90°, cosA =. Найдите tgA А В С a b c

1. Определите в какой четверти лежит угол; 2. Определите формулу нахождения; 3. Вычислите; 4. Поставьте знак, соответствующий четверти. 1. Вычислите 65cosα – 17, если sinα = 5/13, α [π/2;3π/2] 1. Угол находится во второй четверти, т.к. sinα > ,4. т.к. сosα

2)Вычислите 1) Найдите значение дроби Для нахождения значений тригонометрических выражений используйте алгоритм преобразования 3)Вычислите

1. Привести углы в стандартный вид Угол с минусом преобразовать: нечетная – вынести, четная поменять знак. Формулы приведения 2. Алгебраические преобразования Подобные;Раскрытие скобок;Действия с дробями; Разложение на множители;ФСУ;Другие

3. Тригонометрические преобразования 3.1 По углу 3.2 По функции Углы динаковые – формулы одного угла Углы разнятся в два раза – формулы двойного или половинного угла Углы разные – формулы сложения, перевода суммы в произведение и наоборот Приведение к функциям sin и cos Приведение к одной функции – формулы приведения, половинного угла, одного аргумента Приведение к функции tg – формулы универсальной замены

Используем формулы: Sinα cos β + Sinβ cos α = sin (α+β) sinα cos α = ½ sin 2α 4) Найдите значение дроби Подставим значения:

5)Вычислите Сложим дроби: cos 15 sin15 Используем формулы: cos 2 α – sin 2 α = cos 2α sinα cos α = ½ sin 2α

Используем : Формулы приведения sinα cos α = ½ sin 2α 3)Вычислите Используем формулу:

4. Показательные, степенные выражения Свойства степеней с действительными показателями Основные правила Примеры вычисления Главное меню Вернуться

Произведение степеней с одинаковыми основаниями Показатели ______________ Частное степеней с одинаковыми основаниями Показатели ______________ Возведение степени в степень Показатели ______________ (a p ) q = a p a q = Возведение произведения в степень Возвести ________ _________________ Произведение степеней с одинаковыми показателями Умножить _______ _________________ Возведение дроби в степень Возвести ________ _________________ Деление степеней с одинаковыми показателями Разделить а на ____ _______________ (ab) p = a p b p = a p + q a p - q a p q сложить вычесть умножить каждый множитель основания числитель и знаменатель b возвести в степень a p b p (ab) p

1 p = 1 0 p = 0, p 0 a 0 = 1, a 0 При наличии разных оснований – разложить их на простые или удобные множители При наличии дроби - сокращать При получении дробного показателя – перевести в степень

1) Вычислите Заметим, что 196 = 4 · 49, тогда получим: 2) Вычислите 3) Вычислите 4) Вычислите

5. Логарифмические выражения Определение логарифма Свойства логарифма Основное логарифмическое тождество Примеры вычисления Перевод из одного основания в другое Главное меню Вернуться

а > 0 a 1

а = log a bb 2 log log 5 0,5 3 log ,7 log 0,7 9 Вычислите: Пусть М и N числа или выражения под знаком log a. M _____, N ______ 1. log a MN = _____________________2. log a M + log a N = ____________3.4. log a M + log a N 5.6. Логар. произведения = _______________ > 0 сумме логарифмов. Сумма логарифмов = ________________ логар. произведенияlog a MN log a M/N = ____________________ log a M - log a N Логар. частного = _______________ разности логарифмов. log a M - log a N = _______________ log a M/N Разность логарифмов = ________________ логар. частного log a M n = ____________________ Логар. степени = _______________ nlog a Mn, умноженному на логар. nlog a M = _____________________ log a M n 5 0, = log a aa = log a 10 = log 10 alga = log e alna Логарифм десятичный Логарифм натуральный

а = b log a b Основания должны быть одинаковые; логарифм должен быть «чистый» (коэффициент перед логарифмом равен 1). а = b log a b При применении помнить, что выражение под знаком логарифма больше нуля. log a M 2n = 2n log a | M | 1) log 2 (-8) 2 = 2 log 2 | -8 | = 6 2) lg( 2x-3 ) 2 = 2 lg |2x-3| Рекомендации. 1. Десятичные дроби переводить в обыкновенные; 2. Корни - в степень ; 3. Отличать: логарифм степени и степень логарифма (lgx 2 = 2lg|x| и lg 2 x = lgxlgx)

При применении записать: равно, дробная черта; в числителе log c, в знаменателе – log c ; в числитель – b; в знаменатель -а = = = - 3

Свойства логарифма 1) Вычислите log 5 6,25 + log 5 4 log 5 6,25 + log 5 4 = log 5 6,25 · 4 = log 5 25 = 2 2) Вычислите log – log 12 0,75 log – log 12 0,75 = log 12 = log = 2 3) Вычислите log 3 13 – log log 3 13 – log = log 3 = log 3 1/9 = -2

1) Вычислите Основное логарифмическое тождество, перевод из одного основания в другое 2) Вычислите 3) Найдите значение выражения 4) Найдите значение выражения Основания должны быть одинаковые. Логарифм должен быть «чистым»

Перевод из одного основания в другое 1) Вычислите 2) Вычислите 3) Вычислите

4) Вычислите 5) Найдите значение выражения Было бы ошибкой применять формулу перевода. Применим свойства степеней одинаковыми основаниями при делении (показатели вычитаются)