Публичная лекция. Метод координат и метод векторов при решении задач Подготовила учитель математики Краснова Е.В.

Рассмотрение эффективных приемов использования популярных методов решения задач (векторного и координатного) Рассмотрение примеров решения задач. Цель:

Пьер Ферма Рено Декарт История

Координаты точки на прямой. Некоторые определения и вычислительные формулы А(а) 0 1 а А

1. Вычисление длины отрезка АВ. Дано: А(х 1 ), В(х 2 ). Найти АВ. Решение: Задачи на прямой в координатах

2. Вычисление координаты середины отрезка. Дано: А(х 1 ), В(х 2 ), С – середина отрезка АВ. Найти координату С. Решение: Задачи на прямой в координатах

Координаты точки на плоскости Определение координат точки методом проекций на оси.

Координаты точки на плоскости Определение координат точки через координаты ее радиус-вектора.

Деление отрезка пополам. Дано: А(х 1, у 1 ), В(х 2, у 2 ),С(х, у) – середина отрезка АВ. Найти координаты С. Решение:

Дано: А(х 1, у 1 ), В(х 2, у 2 ) Найти АВ. Решение: Расстояние между точками

Коллинеарность векторов Первый признак: Второй признак: Некоторые свойства векторов

Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца. Некоторые свойства векторов

Вычисление длины вектора и длины отрезка Некоторые свойства векторов

Скалярное произведение векторов в прямоугольной системе координат Некоторые свойства векторов

Признак перпендикулярности векторов: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Некоторые свойства векторов

Вычисление угла между векторами. Некоторые свойства векторов

Вычисление площади параллелограмма, построенного на двух векторах. Некоторые свойства векторов

Параметрические уравнения прямой. Уравнения прямой и отрезка

Канонические уравнения прямой. Уравнения прямой и отрезка

Общее уравнение прямой. Уравнения прямой и отрезка

Условие перпендикулярности двух прямых, заданных как графики линейных функций. Уравнения прямой и отрезка

Уравнение окружности

Примеры решения задач Задача 1. Дана прямоугольная трапеция с основаниями a и b. Найдите расстояние между серединами ее диагоналей. Решение. 1. Введем систему координат как указано на рисунке 3. Тогда вершины трапеции будут иметь координаты: A(0,0), B(0,y), C(b,y) и D(a,0). (y – высота трапеции, АВ). 2. Найдем координаты середин диагоналей. Для точки О, для точки О 1 :. По формуле найдем расстояние между точками О и О 1 :

Примеры решения задач Задача 2. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника. Решение. 1. Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 4. В этой системе вершины треугольника будут иметь координаты: А(-40,0), В(0, 160), С(40,0), а точка М 2 (0,0).. Вычислим длины отрезков АМ 1 и СМ 3, используя формулу (6). Для АМ 1 получим:.

Примеры решения задач Задача 3. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы острых углов. Вычислите косинус угла между ними. Решение. 1. Введем систему координат так, как показано на рисунке 5. В этом случае Вершины треугольника будут иметь координаты: С(0,0), А(а,0), В(0,а), а середины катетов (Здесь а – длина катета.): 2. По формуле (4) вычислим координаты векторов

МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Координаты вектора по координатам его начала и конца определяются так: если М 1 (x 1,y 1,z 1 ), M 2 (x 2, y 2, z 2 ), то = (x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1 ) Основные формулы

Скалярное произведение векторов = (а 1, а 2, а 3 ) и = (b 1, b 2, b 3 ) в координатах равно: Основные формулы

Длина вектора = (а 1, а 2, а 3 ) вычисляется по формуле Основные формулы

Угол между векторами = (а 1, а 2, а 3 ) и = (b 1, b 2, b 3 ) из определения скалярного произведения Основные формулы

Угол между векторами = (а 1, а 2, а 3 ) и = (b 1, b 2, b 3 ) из определения скалярного произведения = = Основные формулы

Расстояние между двумя различными точками М 1 (x 1,y 1,z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ) равно = = Основные формулы

Уравнение сферы с центром в точке С(x 0,y 0,z 0 ) и радиусом r имеет вид: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = r 2 Основные формулы

Координаты точки М(x,y,z) – середины отрезка М 1 М 2, где М 1 (x 1,y 1,z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ), М 1 М 2 находятся по формулам: Основные формулы

Условие коллинеарности векторов = (а 1, а 2, а 3 ) и = (b 1, b 2, b 3 ) имеет вид Основные формулы

Примеры решения задач

Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения. Находим координаты необходимых для нас точек. Решаем задачу, используя основные задачи метода координат. Переходим от аналитических соотношений к геометрическим Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему:

Примеры решения задач Задача 5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ребра имеют следующую длину: AB=8, AD=6, AA 1 =12. Пусть М – середина отрезка DA 1, а F – центр стороны BC. Рисунок 1.Введите систему координат, с началом в точке А и координатными осями, направленными по лучам AB, AD, и AA 1 - соответственно, и определите координаты всех вершин параллелепипеда и точек M и F. 2.Составьте уравнения прямых FD 1 и BM. 3.Определите угол между этими прямыми. 4.Найдите координаты вектора, перпендикулярного плоскости AD 1 F. 5.Определите угол между этой плоскостью и прямой BM.

Примеры решения задач

Многие задачи в математике решаются методом координат, суть которого состоит в следующем: Задавая фигуры уравнениями (неравенствами) и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы применяем алгебру к решению геометрических задач; Пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические соотношения геометрически, применяя геометрию к решению алгебраических задач.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!