Числовые характеристики случайной величины

Применяются вместо закона распределения случайной величины В сжатой форме выражают наиболее существенные особенности распределения К ним относятся начальные и центральные моменты СВ, Важнейшие из них носят название математического ожидания и дисперсии.

Математическое ожидание Математическое ожидание – числовая характеристика положения СВ на числовой оси. Это некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения СВ. Это центр рассеяния значений СВ.

Математическое ожидание Обозначения математического ожидания: и некоторые другие.

Математическое ожидание Математическое ожидание дискретной СВ определяется как сумма произведений: где.

Математическое ожидание непрерывной СВ выражается интегралом: где – плотность вероятности, а – элемент вероятности

Таким образом: - ДСВ - НСВ Математическое ожидание

Математическое ожидание имеет размерность СВ; может быть выражено как положительным, так и отрицательным числом

При увеличении числа наблюдений среднее арифметическое СВ сходится по вероятности к ее математическому ожиданию, т.е. где - среднее арифметическое Математическое ожидание

Связь математического ожидания и среднего арифметического Пусть выполнено n измерений в которых: x 1 - k 1 раз x 2 - k 2 раз ……………... x m - k m раз n = k 1 +k 2 +…+k m

Свойства математического ожидания 1. где только для независимых СВ ! 6. если

Дисперсия случайной величины Дисперсия – числовая характеристика рассеивания, тесноты группировки всевозможных значений СВ около ее математического ожидания Дисперсия характеризует точность измерений, если – результаты измерений некоторой СВ

Для дисперсии приняты обозначения: и некоторые другие.

Дисперсия случайной величины Определение: дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания, т. е.

Согласно определению дисперсии и определению математического ожидания: для ДСВ -, для НСВ - - область интегрирования совпадает с областью всех возможных значений СВ

Практически для вычисления дисперсии как ДСВ, так и НСВ используется более удобная формула: В ней - для ДСВ

- для НСВ.

Среднее квадратическое отклонение Дисперсия имеет размерность квадрата размерности СВ Это неудобный показатель точности измерений Поэтому вводится положительный корень квадратный из дисперсии Он называется средним квадратическим отклонением и обозначается

Ср. кв. откл. имеет размерность СВ Поэтому является более удобной, чем дисперсия, числовой характеристикой степени рассеяния значений СВ относительно М x (т.е. более удобным показателем точности измерений) Среднее квадратическое отклонение

Свойства Ср. кв. отклонения 1., где Дисперсии 1., где

Задача Дискретная СВ задана рядом распределения: Вычислить математическое ожидание, дисперсию и ср. кв. отклонение

Решение

Непрерывная СВ задана плотностью вероятности Вычислить математическое ожидание, дисперсию и ср. кв. отклонение. Задача

Решение

Моменты случайной величины Математическое ожидание и дисперсия – важнейшие из моментов случайной величины, которые (моменты) используются для описания различных ее свойств. Определим понятие этих моментов.

Начальные моменты Начальным моментом k - го порядка случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени этой случайной величины, т. е..

Согласно определению Начальные моменты

Если k = 0, то. Если k = 1, то. Если k = 2, то. Т.о. математическое ожидание СВ есть начальный момент 1-го порядка этой величины, а дисперсия может быть выражена через начальные моменты 1-го и 2-го порядков:. Начальные моменты

Центральным моментом k-го порядка СВ X называется математическое ожидание k-й степени отклонения этой СВ от ее математического ожидания, т. е. математическое ожидание k-й степени соответствующей центрированной СВ: где – центрированное значение СВ X. Центральные моменты

Центрированная случайная величина получается при переходе от ряда значений случайной величины X: к ряду, где. Центрирование равносильно переносу начала координат из нуля в среднюю – «центральную» – точку, т. е. в точку.

Согласно определениям центрального момента и математического ожидания: Центральные моменты

Если k = 0, то ; если k = 1,то ; если k = 2, то, т. е. дисперсия СВ есть центральный момент второго порядка этой величины: Центральные моменты

Теоретически при симметричности кривой распределения все центральные моменты нечетных порядков равны нулю, т.е. Практически это свойство используется для характеристики асимметрии (скошенности) кривой распределения.

Вводится коэффициент асимметрии А: где – центральный момент 3-го порядка, а – ср. кв. отклонение СВ

Центральный момент 4-го порядка используется для характеристики положения вершины кривой распределения относительно эталона – т.н. нормального распределения, для которого отношение.

Вводится числовая характеристика, называемая эксцессом кривой распределения и вычисляемая как

Дополнительные числовые характеристики Используются для более детального изучения случайной величины. Отнесем к ним моду и медиану.

Мода Модой случайной величины называется такое значение этой СВ, которому соответствует максимальная плотность вероятности, т. е.. Другими словами, мода – это наиболее часто встречающееся значение СВ.

Медиана Медианой называется срединное значение СВ, т. е. такое ее значение, при котором : Медиана делит площадь под кривой распределения на две равновеликие части.