Принцип Дирихле Проект обучающихся в 6А классе Жаворонкова Павла и Касьянова Романа. Руководитель: учитель математики высшей категории, Отличник народного просвещения Разумова Зинаида Андреевна.

Наш проект - учебный, практического применения. В школьном туре олимпиады встретилась задача. Мы решили изучить подробнее этот вопрос: - Познакомились с литературой по этой теме. - Рассмотрели исторический материал. - Изучили принцип Дирихле. - Подготовили реферат и презентацию. - Научились применять его при решении задач. - Планируем выступить перед учащимися 6 классов.

Дирихле родился в вестфальском городе Дюрене в семье почтмейстера. В 12 лет Дирихле начал учиться в гимназии в Бонне, спустя два года в иезуитской гимназии в Кёльне, где в числе прочих преподавателей его учил Георг Ом. С 1822 по 1827 г. жил в качестве домашнего учителя в Париже, где вращался в кругу Фурье. Биография

- В 1827г. устраивается на должность приватдоцента университета Бреслау (Вроцлав). - В 1829 г. он перебирается в Берлин, где проработал непрерывно 26 лет, сначала как доцент. - Затем с 1831 г. как экстраординарный профессор. - С 1839 г. как ординарный профессор Берлинского университета. В 1855 г. Дирихле становится в качестве преемника Гаусса профессором высшей математики в Гёттингенском университете. Биография

Принцип Дирихле устанавливает связь между объектами и контейнерами при выполнении определённых условий. Принцип Дирихле

Если в n клетках сидит m зайцев, причем m > n, то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два зайца.

Принцип Дирихле

Если в n клетках сидит m голубей, причем m < n, то хотя бы в одна клетка останется свободной.

Обобщенный принцип Дирихле Предположим, m зайцев рассажены в n клетках. Тогда если m > n, то хотя бы в одной клетке содержится не менее m:n зайцев, а также хотя бы в одной другой клетке содержится не более m:n зайцев.

В классе 15 учеников. Докажите, что найдутся как минимум 2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц. Решение: Пусть 15 учеников будут «зайцы». Тогда «клетками» будут месяцы года, их 12. Так как 15>12, то, по принципу Дирихле, найдется, как минимум, одна «клетка», в которой будет сидеть, по крайней мере, 2 «зайца». Ответ: Найдется месяц, в котором будут отмечать дни рождения не менее 2 учеников класса. Задача 1.

В ковре размером 3х3 метра Коля проделал 8 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1х1 метр, не содержащий внутри себя дырок. Решение: Разрежем ковер на 9 ковриков размерами 1х1 метр, Так как ковриков - «клеток» - 9, а дырок - «голубей» - 8. Ответ: Найдется коврик без дырок внутри. Задача 2.

В 3А классе учится 27 школьников, знающих всего 109 стихотворений. Докажите, что найдется школьник, знающий не менее 5 стихотворений. Решение: Предположим, что каждый школьник знает не более 4 стихотворений. Значит, 27 школьников знают не более 427=108(стихотворений) Ответ: Значит найдется школьник, знающий не менее 5 стихотворений. Задача 3.

В городе 15 школ. В них обучается 6015 школьников. В концертном зале городского Дворца культуры 400 мест. Доказать, что найдётся школа, ученики которой не поместятся в этот зал. Решение: Предположим, что в каждой школе не более 400 учеников. Значит во всех школах = 6000(школьников). Ответ: Поэтому ученики этой школы не поместятся в зал на 400 мест. Задача 4.

В школе 5 восьмых классов: 8А, …, 8Д. В каждом из них учится по 32 человека. Докажите, что найдутся 14 человек, родившихся в один месяц. Решение: Предположим, что в каждом месяце родилось не более 13 учеников. Значит за 12 месяцев родилось 1213=156(школьников). Но по условию в школе обучается 532=160(человек). Ответ: Значит, найдется месяц, в котором родилось больше, чем 13 учеников, то есть хотя бы 14. Задача 5.

Внутри равностороннего треугольника со стороной 1см расположено 5 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5см. Решение: Можно получить 4 «клетки», разбив равносторонний треугольник с помощью проведения отрезков, соединяющих середину сторон. Тогда получим 4 равносторонних треугольника со сторонами по 0,5 см, которые и будут у нас «клетками». Задача 6.

Треугольники – «клетки», 5 точек – 5 «зайцев». 5>4, по принципу Дирихле, найдется равносторонний треугольник со стороной 0,5см, в который попадут не менее двух точек.

Задача 6.

Выводы: Таким образом, применяя данный метод, надо: Определить, что удобно в задаче принять за «клетки», а что за «зайцев». Получить «клетки»; чаще всего «клеток» меньше (больше), чем «зайцев» на одну (или более). Выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле. Принцип Дирихле важен, интересен, полезен. Его можно применять в повседневной жизни, что развивает логическое мышление. Многие олимпиадные задачи решаются, используя это специальный метод. Он дает возможность обобщать.

Задача