Избранные вопросы и задачи планиметрии Пособие для факультативных занятий Учитель математики МОУ СОШ 48 Чебан Любовь Михайловна 2012-2013 учебный год.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Подготовила ученица 9 А класса Васюткина Ольга. Если точки A`, B` и C` лежат соответственно на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC или на их продолжениях,
Advertisements

Теорема Менелая Пусть на сторонах AB, BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1, A 1 и B 1. Точки A 1, B 1, C 1 лежат.
ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ. Пусть дан треугольник ABC, точки A1,B1,C1 лежат на продолжениях сторон BC, AС и AB соответственно. Если точки A1,B1,C1 лежат на одной.
10 класс Параллельность плоскостей Харитоненко Н. В. МОУ СОШ 3 с. Александров Гай.
Теорема Чевы. Формулировка теоремы Чевы Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки А 1ЄВС, В 1ЄАС, С 1ЄАВ Отрезки АА 1, ВВ 1, СС 1 пересекаются.
Проект по теме: Теорема Чевы Проект по теме: Теорема Чевы Автор: Автор: ученица 9 Б ученица 9 Б МОУ СОШ 7 МОУ СОШ 7 Струпан Ольга. Струпан Ольга.
Теорема Чевы. Замечательные точки треугольника. Семенова Анастасия 8 « Б »
Презентация Комовой Марии 10 Б Учитель: Сычева Г.В.
Подготовила Ученица 8 класса «Б» Шебанкова Марина.
Математика Дополнительные признаки равенства треугольников Серова Наталья Александровна, Мурзина Наталья Викторовна, учителя математики, информатики и.
Параллельные прямые в пространстве ПЛОСКОСТЬ Прямые, не имеющие общих точек, называются параллельными. АПП: Через любую точку плоскости, не лежащую на.
Третий признак подобия треугольников. Третий признак подобия треугольников Теорема : Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам.
ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. §1. Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Пусть имеется прямоугольная система координат.
Урок геометрии в 8 классе Тема урока: Средняя линия треугольника. Тема урока: Средняя линия треугольника. Разработка учителя математики Разработка учителя.
Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Параллельность в пространстве Подготовили : Соловьёв Иван, Перфильева Алина.
Теоремы Чевы и Менелая. Учитель математики МБОУ сош28 г.Балаково Покатилова Н.А.
Прямая а параллельна. Верно ли, что эта прямая: а) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости ; б) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости.
Теорема косинусов Теорема (косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон.
Признак параллелограмма Теорема 1. (Первый признак параллелограмма.) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник -
Транксрипт:

Избранные вопросы и задачи планиметрии Пособие для факультативных занятий Учитель математики МОУ СОШ 48 Чебан Любовь Михайловна учебный год

Содержание Теорема Чевы Теорема Менелая Задача на применение теорем Чевы и Менелая Задачи в картинках Избранные задачи планиметрии (ГИА)

Теорема Чевы Доказательство

Для случая параллельных прямых из теоремы Фалеса имеем соотношение теоремы Фалеса Перемножая левые и правые части равенств, получаем искомое равенство. Обратно, пусть выполнено необходимое условие и при этом Тогда, проведя через вершину B прямую найдем точку B' ее пересечения с прямой AC. Как и в случае доказательства первой теоремы, получим Если λ > 0, то B' и B1 делят отрезок AC в одном отношении и, следовательно, совпадают. Если λ < 0, то точки B' и B1 лежат вне отрезка AC по одну сторону от точки A или С в зависимости от того, лежат ли точки A1 на отрезке BC или точка C1 на отрезке AB и снова следует из равенства с необходимостью совпадения точек B1 и B1. Для рассмотрения общего случая снова проведем через вершину B прямую a параллельную прямой AC.Треугольник AC1C подобен треугольнику BC1M. Отсюда следует из подобия треугольников AA1C и NA1B получаем Наконец, из гомотетичности относительно центра O треугольников ONM и OAC имеем Перемножая соответственно левые и правые части равенств, получаем искомое равенство. Доказательство достаточности аналогично случаю основной теоремы.

Теорема Менелая Доказательство

Проведем через точку С прямую, параллельную прямой AB, и обозначим через K точку пересечения этой прямой с прямой A'C'. Поскольку треугольники и подобны (по двум углам), то – Так как подобными являются также треугольники и, тем самым – Исключая CK, получаем – Остаётся заметить, что возможны два расположения точек А, B, C : либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем отношений направленных отрезков –

Задачи на применение теорем Чевы и Менелая

Задачи в картинках x 3x 4y 3y 2z5z 1. S4S4 S3S3 S1S1 S2S Найти: S четырехугольника А В С Н Найти: ВН х Найти: х 2