Медиана, биссектриса и высота треугольника. Составила учитель математики МОУ « СОШ 18» г. Электросталь Графуткина Галина Ивановна

МЕДИАНА треугольника Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны. В Р М А Т С

А В С РТ К АК – медиана, ВК=КС ВТ – медиана, АТ=ТС СР – медиана, АР=РВ О Медиана треугольника. О - точка пересечения медиан

Медиана треугольника Для построения медианы треугольника необходимо выполнить следующие построения: В 1. Найти середину стороны. АО=ОС А О С 2. Соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противоположной вершиной треугольника – это и будет медиана.

Основное свойство медиан. Основное свойство медиан. В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины. В ВО : ОК = 2 : 1 АО : ОТ = 2 : 1 Р Т Т О ОС : ОР = 2 : 1 А С К Точка пересечения медиан треугольника имеет физический смысл: она является его центром масс. О

Биссектрисой треугольника называют отрезок прямой, делящий угол при вершине на две равные части. Для построения биссектрисы треугольника необходимо выполнить следующие построения: 1. Построить биссектрису какого-либо угла треугольника ( а биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части); 2. Найти точку пересечения биссектрисы угла с противоположной стороной; 3. Соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком – это и будет биссектриса. Биссектриса треугольника.

AF- биссектриса, CАF = FАB BD - биссектриса, CBD = АBD CS - биссектриса, АCS = BCS A B C О Биссектриса треугольника. F S D О - точка пересечения биссектрис.

Основные свойства биссектрис. 1. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в центре вписанной окружности. 2. Биссектриса внутреннего угла 2. Биссектриса внутреннего угла В треугольника делит В треугольника делит противоположную сторону противоположную сторону на части, пропорциональные на части, пропорциональные заключающим её сторонам. заключающим её сторонам. М Р АК : КС = АВ : ВС М Р АК : КС = АВ : ВС ВР : РС = АВ : АС АМ :МВ =АС : ВС С А К С О

Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение. Для построения высоты треугольника необходимо выполнить следующие построения: 1. Провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника ( в случае, если из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике ); 2. Из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, опустить перпендикуляр к ней ( а перпендикуляр – это отрезок, проведенный из точки к прямой, составляющий с ней угол 90°) – это и будет высота. Высота треугольника.

Высота треугольника - это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, которая содержит противолежащую сторону. Высота треугольника.

С А В D С А D В К М Р С – точка пересечения высот.

Свойство медианы в равнобедренном треугольнике. Теорема (3.5) В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. С АВ- основание АВС СD - медиана СD - биссектриса СD - высота А D В

Свойство медианы в равнобедренном треугольнике. Дано: В Доказательство АВС – р/б Т.к. АВС - р/б с основанием АС, то АС – основан. 1.АВ= ВС( по определ. р\б треугольника) ВD- медиана 2. А = С (по свойству углов р\б тр.) Доказать 3.АD= DС( по определ.медианы) ВD-биссектриса А С 4. АВD= СВD(по 1 признаку) ВD-высота D 5. Следовательно АВ D= DВС(как соответсвенные) Значит ВD-биссектриса АВС 6. А DВ= В DС =90 ° (как смежные и равные), Значит ВD-высота АВС Ч.Т.Д.

Решение задач 27(стр40) В Решение Дано 1. В АВС: АВ+ВС+АС=50, ВD- медиана где АВ=ВС, АС=2АD Р( АВС)=50м Значит 2АВ+ 2АD=50, АВ+ АD=25 Р( АВD)=40м 2. В АВD: АВ+ АD+ВD =40, А D С 25 +ВD =40 Найти ВD Следовательно ВD =40-25= 15(м). Ответ: 15 м.

Задачи по готовым чертежам. 1. В Дано А = С АС= 10м. BD-биссектр. А ? D С Найти АD 10м. 2 К Дано С ЕК=ЕР ? ЕС-биссектриса Р Найти ЕСК и ЕСР Е

Задачи по готовым чертежам 3. А Дано АМО= 70° МА- медиана О 70 ° К Найти КОМ М Т 4 Дано О Е Т КЕ- медиана 50 ° Найти К ? МКТ М

Задачи по готовым чертежам 5 В Дано АВС-р\б ВМ- медиана К Доказать АВК= СВК Доказательство А М С 1.Т.к АВС-р\б, то АВ=ВС( как боковые стороны) 2.ВК- общая 3. АВК= СВК(по свойству медианы р\б треугольника) Таким образом АВК= СВК ( по 2-м сторонам и углу между ними)

Решение задач. 6 В Дано: АВС ВК- высота ВК- биссектриса А К С Доказать: Доказательство АВС-р\б 1. АВК= СВК(по определению биссектрисы) 2. АКВ= СКВ(по определению высоты) 3. ВК- общая АВК= СВК(по стороне и прилежащим углам) 4. АВ=СВ( как соответственные стороны) Значит АВС-равнобедренный. ЧТД.