Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Бесконечно большие последовательности Предел функции (определение и свойства бесконечно больших, предел функции и его свойства)

3. Бесконечно большие последовательности ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность {x n } называется бесконечно большой, если M>0 N такое, что | x n | >M, n>N. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Расширим множество. I способ. Дополним множество элементами, обозначаемыми + и – (называют: «плюс бесконечность» и «минус бесконечность») При этом справедливо: – < r < +, r. II способ. Дополним множество элементом, обозначаемыми (называют: «бесконечность») При этом не связана с действительными числами отношением порядка.

Множество { –, + } и { } называют расширенным множеством действительных чисел (способ расширения всегда понятен из контекста). Обозначают: ̄. Элементы –, +, называют бесконечно удаленными точками числовой прямой. -окрестностью точек –, +, считают следующие множества: U(+, ) = { x | x > 1/ } U(–, ) = { x | x < –1/ } U(, ) = { x | | x | > 1/ }

Если {x n } – бесконечно большая, то с геометрической точки зрения это означает, что в любой -окрестности точки находятся все члены последовательности, за исключением может быть конечного их числа. (Геометрическая интерпретация бесконечно большой последовательности). Записывают: Говорят: «последовательность { x n } стремиться к ». Частные случаи бесконечно больших последовательностей: 1) {x n } – бесконечно большая и x n 0, n. Тогда | x n | = x n >M, n>N в се члены последовательности, за исключением может быть конечного их числа, находятся в любой -окрестности точки +. Записывают: Говорят: «последовательность { x n } стремиться к + ».

2) { x n } – бесконечно большая и x n 0, n. Записывают: Говорят: «последовательность { x n } стремиться к – ». СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 1) Если {x n } – б.б., то последовательность {1/x n } – б.м. Если последовательность { n } – б.м, то {1/ n } – б.б. (связь бесконечно больших и бесконечно малых) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 2)Если {x n } и {y n } – б.б. последовательности одного знака, то их сумма { x n + y n } – б.б. того же знака. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО самостоятельно

3) Если {x n } – б.б., а {y n } – ограниченна, то их сумма {x n + y n } – б.б. последовательность. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно 4) Если {x n } и {y n } – б.б., то их произведение {x n y n } – б.б. последовательность. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно 5) Если {x n } – б.б., {y n } – сходящаяся, причем то их произведение {x n y n } – б.б. последовательность. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность {x n } называют отделимой от нуля, если существуют число K > 0 и номер N такие, что | x n | >K, n>N. 6) Если {x n } – ограниченная и отделимая от нуля, {y n } – б.б., то их произведение {x n y n } – б.б. последовательность. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

7) Если последовательность {x n } – б.б. и для любого n имеет место неравенство | x n | < | y n | (| x n | | y n |), то последовательность {y n } тоже является б.б. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно 8) Пусть {x n } и {y n } – б.б. одного знака и для любого n имеет место неравенство x n z n y n. Тогда последовательность {z n } тоже является б.б. того же знака. (лемма о двух милиционерах для б.б. последовательностей) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

§3. Предел функции 1. Определение предела функции по Гейне и по Коши Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 ̄, кроме, может быть, самой точки x 0. U * (x 0, ) = U(x 0, ) \ {x 0 } – проколотая окрестность точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (по Коши, на языке - ). Число A называется пределом функции f(x) при x стремящемся к x 0 (пределом функции f(x) в точке x 0 ), если >0 >0 такое, что если x U * (x 0, ), то f(x) U(A, ).

Замечание. 1) Условие x U * (x 0, ) означает, что для x выполняется неравенство: а) 0 < | x – x 0 | 1/, если x 0 = ; в) x > 1/, если x 0 = + ; г) x < – 1/, если x 0 = –. 2) Условие f(x) U(A, ) означает, что для f(x) выполняется неравенство| f(x) – A | < Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 ̄, кроме, может быть, самой точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (по Гейне, на языке последовательностей). Число A называется пределом функции f(x) при x стремящемся к x 0, если для любой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к x 0, соответствующая последовательность значений функции {f(x n )} сходится к A.

ТЕОРЕМА 1. Определение предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны. Обозначают: Говорят: «f(x) стремится к A при x стремящемся к x 0 ». 2. Свойства пределов Из свойств сходящихся последовательностей и определения предела функции по Гейне получаем, что справедливы следующие утверждения. 1) Если функция имеет предел при x x 0, то он единственный. 2) Если f(x) A, то | f(x)| |A|. 3)Если функция f(x) имеет предел при x x 0, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x 0 (говорят: функция локально ограничена) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция (x) называется бесконечно малой при x x 0, если 4) ЛЕММА 2 (о роли бесконечно малых функций). Число A является пределом функции f(x) при x x 0 f(x) = A + (x), где (x) – бесконечно малая при x x 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 5) Пусть f(x) – ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x 0, (x) – бесконечно малая при x x 0. Тогда f(x) (x) – бесконечно малая при x x 0.

6) Пусть f(x) и g(x) имеют предел при x x 0. Тогда их сумма, разность, произведение и частное тоже имеют предел при x x 0, причем Следствие свойства 6. Если f(x) имеет предел при x x 0, то c функция с f(x) тоже имеет предел при x x 0, причем Говорят: «константу можно вынести за знак предела». Замечание. Свойство 6 и его следствие обычно называют теоремами о пределах.

7) Пусть f(x) имеет предел при x x 0 и >0 такое, что f(x) 0 (или f(x) > 0), x U * (x 0, ). Тогда 8) Пусть f(x) и g(x) имеют пределы при x x 0 и >0 такое, что f(x) g(x) (или f(x) > g(x)), x U * (x 0, ). Тогда 9) ЛЕММА 3 (о двух милиционерах). Пусть f(x) и g(x) имеют одинаковый предел при x x 0 и >0 такое, что f(x) (x) g(x), x U * (x 0, ). Тогда функция (x) тоже имеет предел при x x 0, причем

10)Пусть f: X Y, : Y Z и существуют пределы Тогда сложная функция (f(x)) имеет предел при x x 0, причем Формула (1) называется формулой замены переменной в пределе ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно